Контрольная работа по "Экономическому моделированию"

Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у₃ = 0

Так как х₂ ≠ 0 и х₃ ≠ 0, то получаем систему уравнений:

Решение системы: y₁=2/9, y₂=5/3, y₃=0.

3)   В   прямой   задаче   Х₁=0,   так   как  при   достаточно  высоких  затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

4)  а) Наиболее  дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у₂ = 5/3) является наибольшей.

б) При увеличении запасов сырья I вида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:

2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.

И она будет  равна: 400-5 = 395 ден.ед.

 

Определим изменение  плана выпуска аз системы уравнений:

То есть оптимальный  план выпуска будет иметь вид:

X₁=0      X₂=11     X₃=20         max f(x) = 395 (ден.ед)

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

Так как затраты  на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.

 

Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.

 
 

Задача 4.

 

          Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

 
 

     Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀ +a₁ k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

          Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение

 

1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда.

 

 

где  среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

 

 

Построим следующий ряд:

 

 

 

y(t)2=B2^2

λ(y) =D3/$B$13

σy=((9*E11-B11^2)/72)^0,5

Анамальных  наблюдений во временном ряду нет.

 

2)   Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t

Параметры а₀ и а₁ можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

     

А также с  использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

     

Затем используя  пункт Регрессия настройки - «Анализ  данных»

 

Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: Y_p(t) = 1,85 t + 10,30

 

  Построим график эмпирического и смоделированного рядов:

 

 

 

3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и  полученная ошибка прогноза:

используется    для     корректировки    модели.     Корректировка    параметров осуществляется по формулам:

 

а)   Примем   а = 0,4,   тогда   В   качестве   начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6; а₁ = 1,4.

Расчет проведем с помощью MS Excel в результате получим следующую таблицу:

 
 

Рассчитаем среднюю  ошибку аппроксимации по модели:

 

 

б)   Примем    а = 0,7,   тогда    .   В    качестве   начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6; а₁ = 1,4. Получим следующую таблицу:

 

Рассчитаем среднюю  ошибку аппроксимации по модели:

 

            

Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.

 

4)      Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

 

Et=B2-G2

Е(т)^2=H2^2

E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2

E(t)-E(t-1) =H3-H2

мод Е(т) =ABS(H2)

Е(т)/у=L2/B2

Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.

 

• Условие случайности  отклонений от тренда. Рассчитаем критическое  число поворотных точек по формуле:

Так как для  данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено.

 

• Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d- статистику) по формулам:

                                                  

d=2,03383658                                   

d'=4–2,03383658=1,96616342

 

Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и  d_2kp=1,36;

d и d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

 

• Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:

S_e=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685

=(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04

(2,7;3,7), т.е. 3,04 (2,7;3,7), значит модель адекватна.

 

5)  Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

6) Строим прогноз по построенным моделям:

точечный прогноз  получается путем подстановки в  модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

<