Контрольная работа по "Экономическому моделированию"

     Задача 1. 

      1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

          Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.

          Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук.

          По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$.

          Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

          Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? 

     Решение

     Пусть X₁ – кол-во акций «Дикси-Е»,

                X₂ – кол-во акций «Дикси-В».

     Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:

     

 

       
 

     Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

     

 

     Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:

     

 

     Для  получения решения графическим  методом строим прямые: 

 
     

       
                    

     

 

     Решением  является замкнутый многоугольник  ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи.

     Чтобы из бесконечности множества возможных  рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max значение.

     Надо  найти расположение всех точек в  которых функция цели принимает  одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0).

     

                                                   

     Построим  векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.

     

 

     Точка С (3500;2500)

 

     

     Если  решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.

 

     Ответ: максимальная прибыль  в следующем году: 6100$

                 При покупке акций Дикси-Е (Х₁)=3500 (шт.), Дикси-В (Х₂)=2500 (шт.).

 

     Задача 2.

 

     2.6. На основании информации, приведенной  в таблице, решается задача  оптимального использования ресурсов  на максимум выручки от реализации  готовой продукции.

 
 

       Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

     - проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

     - определить, как изменяется выручка  от реализации продукции и  план ее выпуска, если запас  сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;

     - оценить целесообразность включения  в план изделия «Г» ценой  11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

 

     Решение

 

      1) Пусть необходимо изготовить х₁ единиц продукции A, х₂ единиц продукции Б и х₃ единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:

 

 

 

Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

 
 

Теперь будем  искать  оптимальное решение с  помощью настройки «Поиск решения»:

 

В результате будет  получена следующая таблица:

 
 

Таким образом, чтобы получить максимум выручки  в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.

 

2) Строим двойственную  задачу в виде:

Запишем двойственную задачу:

 

Найдем  решение  двойственной  задачи  с  помощью  теорем  двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи: