Контрольная работа по "Эконометрике"

Используя данные, представленные в табл.1, постройте модель связи  между указанными факторами, проверьте  ее адекватность, осуществите точечный прогноз методом экстраполяции.

Таблица 1

Исходные данные для  построения модели регрессии 

Номер предприятия	Х – стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	У – среднесуточная производительность, тонн
1	4,0	18,6
2	5,5	19,1
3	7,2	20,7
4	7,0	20,2
5	8,2	22,3
6	10,4	25,4
7	10,1	30,2
8	8,8	29,6
9	11,3	35,7
10	14,0	34,0

 

1. Используя ППП Excel, постройте облако корреляции и сделайте предварительное заключение о виде связи (прямая или обратная) между факторами Х и У.

Ответ:

 

Вывод: поскольку с  увеличение значения Х значения Y также увеличиваются, имеем прямую связь между факторами Х и Y.

 

2. Полагая, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией, рассчитайте линейный коэффициент корреляции r_xy. Сформулируйте вывод.

Ответ:

 

4,0	18,6		D2	Столбец 1	Столбец 2
5,5	19,1		Столбец 1	1
7,2	20,7		Столбец 2	0,887252248	1
7,0	20,2
8,2	22,3
10,4	25,4		Ответ:	ЛКК=0,887
10,1	30,2
8,8	29,6
11,3	35,7
14,0	34,0

Вывод: поскольку значение достаточно сильно приближено к 1, связь  между факторами Х и Y тесная и прямая (т. к. значение положительное).

 

3. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции r_xy. Сформулируйте вывод о тесноте связи между факторами Х  и У.

Ответ:

 для числа степеней свободы  и составит 2,306.

Определим случайную ошибку:

Находим величину случайной ошибки:   .

> , т. е. коэффициент корреляции статистически значим.

 

4. Используя формулы метода наименьших квадратов, рассчитайте коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Ответ:

Для расчета воспользуемся ППП Excel.

Встроенная статистическая функция  ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии: у = а₀ + а₁ х.

Для параметров парной линейной регрессии и воспользуемся методом наименьших квадратов, используя систему нормальных уравнений:

Вычислим все необходимые суммы  на основании расчетной таблицы:

№ п/п
1	4	18,6	74,4	16	345,96
2	5,5	19,1	105,05	30,25	364,81
3	7,2	20,7	149,04	51,84	428,49
4	7	20,2	141,4	49	408,04
5	8,2	22,3	182,86	67,24	497,29
6	10,4	25,4	264,16	108,16	645,16
7	10,1	30,2	305,02	102,01	912,04
8	8,8	29,6	260,48	77,44	876,16
9	11,3	35,7	403,41	127,69	1274,49
10	14	34	476	196	1156
	86,5	255,8	2361,82	825,63	6908,44

Система нормальных уравнений  будет иметь вид:

 

Из первого уравнения выразим: , подставим во второе

;

;

, , .

; - параметры парной линейной регрессии.

 

5. Определите коэффициент детерминации. Сформулируйте вывод.

Ответ:

Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся формулой:

. Это означает, что изменение  среднесуточной производительности на 78,7% объясняется изменением стоимости ОПФ.

 

6. Проверьте адекватность модели по критерию Фишера. Сформулируйте вывод.

Ответ:

F – критерий Фишера для данной модели:

.

Табличное значение F – критерия при числе степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,05 составит: .

< , т. е. уравнение регрессии статистически значимо.

7. Выполните точечный прогноз для  x^* = х_max + D. Подберите D на основании рекомендаций.

Ответ:

    Если прогнозное значение составит: (млн. руб.), тогда прогнозное значение среднесуточной производительности составит: (тонн).

 

Ошибка прогноза составит:

Определим предельную ошибку для  , которая в 95% случаев не будет превышена: .

Доверительный интервал прогноза:

.

 

Задача 2

Оценить тесноту связи  между двумя факторами на основании данных, представленных в табл.2:

Таблица 2

Исходные данные для оценки тесноты связи между  двумя факторами

 

№ предприятия	Объем реализации, млн. руб.	Затраты по маркетингу,  тыс. руб.
1	12,0	462
2	18,8	939
3	11,0	506
4	29,0	1108
5	17,5	872
6	23,9	765
7	35,6	1368
8	15,4	1002

 

 

Методические указания по выполнению задачи № 2

Двумя способами –  расчетом по формулам и используя  ППП Excel, оценить тесноту связи между двумя факторами:

А) при помощи коэффициента корреляции рангов Спирмена;

Б) рассчитав  линейный коэффициент корреляции;

В) сравнить результаты.

Сформулировать вывод  на основе шкалы Чеддока.

Решение:

Составим вспомогательную  таблицу:

№ п/п
1	12	462	5544	144	213444
2	18,8	939	17653,2	353,44	881721
3	11	506	5566	121	256036
4	29	1108	32132	841	1227664
5	17,5	872	15260	306,25	760384
6	23,9	765	18283,5	571,21	585225
7	35,6	1368	48700,8	1267,36	1871424
8	15,4	1002	15430,8	237,16	1004004
	163,2	7022	158570,3	3841,42	6799902
Средние значения	20,4	877,75	19821,29	480,177	849987,75

А) Коэффициент корреляции рангов Спирмена: .

№ п/п	X	Y	Ранжирование				Сравнение рангов		Разность
			Х		Y
1	12	462	11	1	462	1	2	1	1	1
2	18,8	939	12	2	506	2	5	5	0	0
3	11	506	15,4	3	765	3	1	2	-1	1
4	29	1108	17,5	4	872	4	7	7	0	0
5	17,5	872	18,8	5	939	5	4	4	0	0
6	23,9	765	23,9	6	1002	6	6	3	3	9
7	35,6	1368	29	7	1108	7	8	8	0	0
8	15,4	1002	35,6	8	1368	8	3	6	-3	9
										20

. Следовательно, связь высокая.

Б) Для расчета линейного коэффициента корреляции воспользуемся ППП Excel.

12	462
18,8	939
11	506
29	1108		Столбец 1	Столбец 2
17,5	872	Столбец 1	1
23,9	765	Столбец 2	0,848715	1
35,6	1368		ЛКК=0,848
15,4	1002

Определим значение линейного  коэффициента корреляции по формуле:

.

Значение приближено к 1, т. е. связь между Х и Y высокая.

 

Задача № 3

Используя данные об урожайности зерновых (ц/га) в одном из регионов России, представленные в табл. 3, постройте модель тренда и выполните прогноз на 2006 год.

Таблица 3

Исходные данные для построения модели тренда

Год, Т	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Урожайность, у	17,0	14,5	20,7	23,4	22,2	26,8

 

Методические  указания по выполнению задачи № 3

1. Произведите аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, используя метод переноса начала координат к среднему уровню РД и  соответствующие формулы МНК, - рассчитайте коэффициенты линейной модели тренда.
2. Используя линейную модель тренда, рассчитайте теоретические значения уровней фактора (урожайности).
3. Рассчитайте остаточную дисперсию (дисперсию отклонений от линии тренда).
4. Для оценки качества модели тренда рассчитайте коэффициент  аппроксимации. Сформулируйте вывод.

5. Выполните точечный прогноз на 2006 год методом экстраполяции.