Контрольная работа по " Эконометрика "

Таблица 6

Результаты регрессионного анализа для факторного признака X₃

Регрессионная статистика
Множественный R	0,892251
R-квадрат	0,796112
Нормированный R-квадрат	0,790747
Стандартная ошибка	26,20741
Наблюдения	40

 

Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	1		101909,516		101909,516		148,377	1,08E-14
Остаток	38		26099,47772		686,828361
Итого	39		128008,9938
		Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-14,8883		10,39497402		-1,432262319		0,160244
X3		1,592401		0,130728155		12,18100887		1,08E-14

Вывод: , , то есть уравнение линейной парной регрессии для фактора Х₃ имеет вид: Y = -14,888 + 1,592·X₃.

Коэффициент показывает, что, если не учитывать влияние территориального фактора и этажности квартир на цену, то с увеличением общей площади квартиры на 1 кв.метр, стоимость квартиры увеличится на 1,592 тыс. долл. 

Значение  параметра  <0 не имеет экономического смысла, однако соответствует опережению изменения результата Y над изменением признака X₃.

                                                                                                                   Таблица 7

Результаты регрессионного анализа для факторного признака X₅

Регрессионная статистика
Множественный R	0,071385
R-квадрат	0,005096
Нормированный R-квадрат	-0,02109
Стандартная ошибка	57,89207
Наблюдения	40

 

Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	1		652,3174		652,3174		0,194635	0,661587
Остаток	38		127356,7		3351,491
Итого	39		128009
		Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		107,3669		16,63769		6,453235		1,36E-07
X5		-1,08967		2,46993		-0,441175		0,661587

Вывод: , , то есть уравнение линейной парной регрессии для фактора Х₅ имеет вид: Y = 107,367 – 1,089·X₅.

Коэффициент показывает, что чем выше этаж квартиры на 1 единицу цена квартиры уменьшается на 1,089 тыс. долл. То, что , не имеет экономического смысла, однако положительный знак параметра свидетельствует о том, что относительное изменение результата Y происходит медленнее, чем изменение признака X₅.

4. Оценка качества каждой модели через коэффициент детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера.

1) Для оценки качества  подбора линейной функции рассчитывается  квадрат линейного коэффициента  корреляции  , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициентом детерминации характеризует долю вариации результативного признака Y, учтенную в модели, и обусловленную влиянием фактора X:

                                             (5)

где - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, и общая сумма квадратов отклонений соответственно.

R² > 0.5 соответствует высокой степени тесноты связи признаков в уравнении регрессии. При этом более 50% вариаций расчетных значений признака Y объясняется влиянием фактора X, что позволяет применение полученного уравнения регрессии правомерным.

Коэффициенты детерминации были получены в результате расчетов, проведенных в пункте 3 и представлены в таблицах 5-7 (в программе Excel коэффициент детерминации обозначается, как R-квадрат).

= 0,000127 – неприемлемая модель,

= 0,7961 – использование модели правомерно,

= 0,005096 – неприемлемая модель.

Вывод: Исходя из этого критерия, наиболее адекватной является модель уравнения регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади Y = f(Х₃).

2) Также для оценки  точности регрессионных моделей  целесообразно использовать среднюю  относительную оценку аппроксимации:

.                             (6)

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации менее 7% свидетельствует о хорошем качестве модели. Модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации меньше 15%.

Для расчета средней ошибки аппроксимации по формуле 6 также можно воспользоваться инструментом Регрессия, входящим в настойку Анализ данных, при этом следует установить флажок Остатки в окне Параметров вывода. В результате получается таблица ВЫВОД ОСТАТКА. Итоговая таблица остатков ( ) для всех признаков выглядит следующим образом:

Таблица 8.

Вспомогательная таблица для расчета средней ошибки аппроксимации.

Наблю-дение	Y	Остатки, εi (X1)	Остатки, εi (X3)	Остатки, εi (X5)
1	38	-62,533	-13,833	-56,290	4,114	0,910	3,703
2	62	-38,333	-32,787	-35,359	1,541	1,322	1,426
3	125	23,186	33,197	29,619	0,464	0,663	0,592
4	61	-39,433	-16,530	-35,370	1,613	0,677	1,449
5	67	-34,814	30,931	-38,188	1,299	1,154	1,425
6	93	-8,814	16,803	-13,277	0,237	0,452	0,357
7	118	17,467	-37,498	12,812	0,370	0,794	0,271
8	132	30,186	17,904	33,350	0,572	0,339	0,632
9	93	-9,314	-35,769	-5,059	0,252	0,962	0,136
10	105	4,467	0,458	6,351	0,106	0,011	0,151
11	42	-58,533	-0,438	-56,649	3,484	0,026	3,372
12	125	24,467	23,802	35,068	0,489	0,476	0,701
13	170	68,186	41,572	65,902	1,003	0,611	0,969
14	38	-63,814	6,708	-66,098	4,198	0,441	4,349
15	131	28,686	-26,591	24,223	0,550	0,507	0,462
16	85	-16,814	4,344	-19,098	0,495	0,128	0,562
17	98	-3,814	-14,504	-6,098	0,097	0,37	0,156
18	128	26,186	-22,721	24,992	0,511	0,444	0,488
19	85	-16,814	-35,466	-13,649	0,495	1,043	0,401
20	160	59,467	63,420	54,812	0,929	0,991	0,856
21	60	-41,814	-20,656	-43,008	1,742	0,861	1,792
22	41	-59,533	0,154	-55,470	3,630	0,009	3,382
23	90	-10,533	-14,542	-11,919	0,293	0,404	0,331
24	83	-18,814	-12,784	-23,277	0,567	0,385	0,701
25	45	-56,814	7,657	-59,098	3,156	0,425	3,283
26	39	-62,814	2,932	-65,098	4,027	0,188	4,173
27	87	-14,914	-52,675	-9,570	0,429	1,514	0,275
28	40	-61,814	2,658	-65,188	3,863	0,166	4,074
29	80	-21,814	-18,649	-25,188	0,682	0,583	0,787
30	227	125,186	7,805	121,812	1,379	0,086	1,342
31	235	133,186	11,028	137,440	1,417	0,117	1,462
32	40	-60,533	0,747	-58,649	3,783	0,047	3,666
33	67	-33,533	7,046	-39,277	1,251	0,262	1,466
34	123	22,467	8,904	25,440	0,457	0,181	0,517
35	100	-1,814	24,121	-0,829	0,045	0,603	0,021
36	105	4,467	-7,504	0,902	0,106	0,179	0,021
37	70	-30,233	-7,330	-26,170	1,075	0,262	0,935
38	82	-18,533	-32,255	-19,919	0,565	0,983	0,607
39	280	179,467	48,066	178,082	1,602	0,429	1,590
40	200	99,467	42,272	96,992	1,243	0,528	1,212
Итого:					54,132	20,533	54,095

Для расчета  используется функция Excel ЗНАК, которая возвращает знак числа (1 – положительное число, -1 – отрицательное число), таким образом, может применяться для расчетов с модулем. Полученные в строке Итоги таблицы 8 значения соответствуют средним ошибкам аппроксимации:

= 54,13 % - неприемлемая модель;

= 20,53 % - неприемлемая модель;

= 54,09 % - неприемлемая модель.

Вывод: Ни одну из моделей по данному критерию оценки считать приемлемой нельзя. Лучшей моделью является зависимость цены квартиры от общей площади квартиры Y = f(Х₃).

3) Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Для этого выполняется сравнение и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. 

Расчетные значения приведены  в таблицах 5-7 (обозначены буквой F).

Табличное значение F-критерий Фишера, рассчитанное в Excel с помощью функции FРАСПОБР (вероятность равна 0,05, число степеней свободы - 1 и 38): = 4,10.

Расчетные значения F-критерий Фишера для каждого фактора сравнивается с табличным значением:

= 0,005 < = 4,10 - модель по данному критерию незначима;

= 148,38 > = 4,10 - модель по данному критерию значима;

= 0,19 < = 4,10 - модель по данному критерию незначима.

Вывод: Проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что наиболее лучшей является математическая модель, построена для фактора общая площадь квартиры, которая описана линейным уравнением Y = – 14,89 + 1,59·X₃.

5. Прогнозирование среднего значения показателя для выбранной модели при уровне значимости , если прогнозное значения фактора составит 80% от его максимального значения. Графическое представление фактических и модельных значений, точки прогноза.

Для прогнозирования  среднего значения показателя Y наиболее качественная модель Y = – 14,89+ 1,59·X₃.

Для расчета  прогнозного значения Х_3пр определяется максимальное значение фактора Х_3max (по условию Х_3пр составит 80% от Х_3max) в Excel с помощью функции МАКС:

= 155 кв.м.

Следовательно, Х_3пр = 0,8·155 = 124 кв.м.

В прогнозных расчетах по уравнения  регрессии определяется предсказываемое  значение как точечный прогноз  :

= – 14,89 + 1,59·124 = 182,27 тыс.долл.

Точечный  прогноз не реален, поэтому он дополняется  доверительным и соответственно интервальной оценкой прогнозного  значения Y^*:

,                                                   (7)

где , - значение стандартной ошибки из таблицы 7, - табличное значение t-критерия Стьюдента.

Для расчета  коэффициента используется функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР, вероятность возьмем равную 0.1, число степеней свободы - 38. рассчитывается с помощью функции СРЗНАЧ. Значение определяется также с помощью Excel. Таким образом:

 = 1.686;

= 26,2074;

= 72,925;

=401890,255.

Следовательно, .

Определим верхнюю  и нижнюю границы интервала:

= 182,27 – 1,686 · 7,858 = 169,021 тыс. долл.;

= 182,27 + 1,686 · 7,858 = 195,519 тыс. долл.

Вывод: Прогнозное значение тыс. долл. будет находиться между нижней границей, равной 169,021тыс. долл. и верхней границей, равной 195,519 тыс.долл. (т.е. ). Таким образом, если общая площадь квартиры увеличится на 80% от максимального значения и составит 124 кв. м., то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 169,02 тыс. долл. до 195,52 тыс. долл.

Графическое изображение фактических и модельных значений, точка прогноза представлено на рисунке 2.

Рисунок 2. Графическое изображение фактических и модельных значений, точки прогноза.

6. Построение модели формирования цены квартиры за счёт значимых факторов с использованием множественной регрессию.

Метод исключения. Для построения модели множественной регрессии необходимо воспользоваться функцией Регрессия программы Excel, включив в нее все факторы. В результате получается результативные таблицы.

Таблица 9

Результаты регрессионного анализа для всех факторов вместе

Регрессионная статистика
Множественный R	0,89486
R-квадрат	0,800774
Нормированный R-квадрат	0,784172
Стандартная ошибка	26,61596
Наблюдения	40

 

Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	3		102506,2501		34168,75		48,23305		1,08E-12
Остаток	36		25502,74367		708,4095
Итого	39		128008,9938
		Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-11,9275		12,64119155		-0,94354		0,351694
X1		5,877772		9,033758721		0,650645		0,519407
X3		1,593441		0,132906834		11,98916		3,95E-14
X5		-1,01008		1,211898319		-0,83347		0,410076