Классификация математических моделей (ТО - технический объект)

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального  мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование  и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений…

Математика в самом  общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение  – это гипотетическое правило, связывающее  два или более символических  объекта. Многие отношения могут  быть описаны при помощи  математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно  пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом  выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия;

определяющие свойства этих моделей представляют собой  более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей  часто ассоциируются с множествами  действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.    Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса  с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс  или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Математическое моделирование  является типичной дисциплиной, находящейся, как сейчас часто говорят, на “стыке” нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который “обслуживается” математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по “объекту”, не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик теоретик, основной деятельностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.

Основные  этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической  задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание  уделяется разработке алгоритмов  и численных методов решения  задачи на ЭВМ, при помощи  которых результат может быть  найден с необходимой точностью  и за допустимое время.

3) Интерпретация  полученных следствий из математической  модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности  модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента  с теоретическими следствиями  из модели в пределах определенной  точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо  усложнение модели, чтобы она  была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения  практически приемлемого решения.

Классификация математических моделей.

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные  подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности.

Математические  модели с сосредоточенными параметрами.

Обычно с помощью  таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами  широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные -  концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

В случае сложных  систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 102... 103). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной

Метод последовательного  расширения модели может привести к  созданию адекватной модели сложной  системы.

Математические  модели с распределенными параметрами.

Моделями этого  типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Математические  модели, основанные на экстремальных  принципах.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике.

Например, все известные  системы уравнений, описывающие  физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные  принципы играют существенную роль.

Экстремальный принцип  используется при аппроксимации  эмпирических зависимостей аналитическим  выражением. Графическое изображение  такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью

экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью

                                                                y=j(х).                              

Вид этой зависимости

Основной принцип  классификации математических моделей  и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х. Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный  метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Разумеется, перечисленные  разновидности математических моделей  не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела - физики элементарных частиц.

В качестве основного  принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

            физические процессы;

            технические приложения, в том  числе управляемые системы, искусственный  интеллект;

            жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

            большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные,  

экономические, экологические);

            гуманитарные науки (языкознание,  искусство).

(Области применения  указаны в порядке, соответствующем  убыванию уровня адекватности моделей).

Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные  факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления  математических моделей различают  инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

Примеры математических моделей

Задачи о  движении снаряда.

задача механики.

Снаряд пущен с  Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами  снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально

Тогда, как это  известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами где t — время, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x2, S = 90 м.

Отметим, что при  построении этой модели использован  ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и  вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Транспортная  задача.

В городе имеются  два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.

Обозначим через  aij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть