Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа

 

Анализируем исходные данные с помощью  линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997537
R-квадрат	0,99508
Нормированный R-квадрат	0,994501
Стандартная ошибка	0,028289
Наблюдения	20

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	2,75165	1,375825	1719,231
Остаток	17	0,013604	0,0008
Итого	19	2,765254
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	–1,65242	0,606198	–2,72587
Переменная ln (K)	0,845997	0,093352	9,062488
Переменная ln (L)	0,339732	0,185692	1,829548

 

Данные показатели определяются следующим  образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

,

где

Q_R – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .

В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:

где

N – число наблюдений (20),

P – число объясняющих переменных (2).

 

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M–1=3–1=2,

для остатка df=N–M=20–3=17,

итоговый df=N–M=20–1=19,

где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.

 

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):

,

где – условная (групповая) средняя переменной y

Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):

.

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

.

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:

F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:

F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F_0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).

Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.

t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.

 

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа  для вышеописанной ситуации:

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования:

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих  значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы (L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.

Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы (L)

В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.

Для примера определим объем  ВВП в среднем при ожидаемом  уровне капитала 50.000 млн. песо и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.

 

Список литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: Инфра-М, 2001.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2003.
3. Ресурс Интернет – http://allmath.ru/appliedmath/micro/labs/micro-labs1.htm.
4. Ресурс Интернет – http://nit.miem.edu.ru/cgi-bin/article?id=122.
5. Фурманн В., Султанов А. Общеэкономический рынок труда (Der gesamtwirtschaftliche Arbeitsmarkt) – ресурс Интернет http://ek-lit.agava.ru/mul/mul003.htm.

Москва 2005