Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Декабря 2012 в 19:36, контрольная работа

Описание работы

Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.
Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.

Файлы: 1 файл

Производственная функция Кобба-Дугласа.doc

— 2.27 Мб (Скачать файл)


 

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАЛОГОВАЯ СЛУЖБА

ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ

 

 

Кафедра «Математики»

 

Семестровая контрольная  работа по курсу

«Эконометрика»

 

 

 

Эконометрический  анализ производственной функции Кобба-Дугласа

 

 

 

Выполнил: студент  гр. БО-301 Ковчегин И. А.

Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В.

 



 

Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г., когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas) и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь  между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.

При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала.

Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:

где:

K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:

При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к  увеличению выпуска – первая производная положительна.

Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается  с увеличением величины данного  фактора – вторая производная  отрицательна.

Уровень организационных и технических  знаний отображается в соответствующих  формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 1):

Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом

Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK1 на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0 при любом числе занятых трудом.

С увеличением количественного  параметра имущественного капитала увеличивается и средняя производительности труда, которая является частным от деления величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней производительности труда.

Величина имущественного капитала принимается в рамках данного  кратковременного анализа как экзогенно  заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический  прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций.

В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что  если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал  для ее построения эмпирические данные.

Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.

Кинетическая функция  (где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на eg, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.

Эластичность выпуска продукции  по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как

,

и аналогичным образом легко  показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска  продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства  и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

.

Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:

,

и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех  случаях, когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех случаях, когда между  выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

При построении производственной функции  Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .

3) Введем векторы

;   ;

и матрицу  

Тогда критерий можно записать в  виде

.

Дифференцируя SSD по вектору Х и  приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК

или

.

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

,

где cii – элементы главной диагонали матрицы .

s2 – дисперсия погрешности измерений.

Оценка s2 определяется по формуле

Рассчитывается значение t – параметра

Если полученное значение t больше, чем табличное ta при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно отлично от нуля при уровне a.

Доверительные границы для  определяются по формуле

Тогда вероятность того, что величина Xi действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

,

где  .

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент  множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.

Мы имеем данные по ВВП Мексики  за 20 лет (таблица 1) относительно рабочей  силы (L) и капитала (K). Эти точки не будут лежать на 1 прямой, так как между экономическими величинами не существует строгой взаимосвязи, потому что на ВВП кроме рабочей силы и капитала могут влиять и другие факторы. Поэтому экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:

,

где K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

Или в линейном виде:

 

Таблица 1

Мексика, 1955-1974 гг.

Реальный ВВП (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)

Численность рабочих (тысяч человек)

Основной капитал (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)

 

Год

ВВП

Капитал

Рабочая сила

1955

114043

182113

8310

1956

120410

193749

8529

1957

129187

205192

8738

1958

134705

215130

8952

1959

139960

225021

9171

1960

150511

237026

9569

1961

157897

248897

9527

1962

165286

260661

9662

1963

178491

275466

10334

1964

199457

295378

10981

1965

212323

315715

11746

1966

226977

337642

11521

1967

241194

363599

11540

1968

260881

391847

12066

1969

277498

422382

12297

1970

296530

455049

12955

1971

306712

484677

13338

1972

329030

520553

13738

1973

354057

561531

15924

1974

374977

609825

14154


 

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:

Год

ln(ВВП)

ln(Капитал)

ln(Рабочая сила)

1955

11,64433

12,11238265

9,025214888

1956

11,69866

12,17431879

9,0512274

1957

11,76902

12,23170141

9,07543661

1958

11,81084

12,27899778

9,09963225

1959

11,84911

12,32394901

9,123801611

1960

11,92179

12,37592512

9,166283986

1961

11,9697

12,42479444

9,161885152

1962

12,01543

12,47097599

9,175955945

1963

12,09229

12,52621949

9,243194709

1964

12,20335

12,59601117

9,303921786

1965

12,26586

12,66259519

9,371268036

1966

12,3326

12,72974144

9,351926736

1967

12,39336

12,80380689

9,35357454

1968

12,47182

12,87862674

9,398146859

1969

12,53357

12,9536654

9,417110609

1970

12,5999

13,02816038

9,469237093

1971

12,63366

13,09123797

9,498372383

1972

12,7039

13,16264699

9,527920995

1973

12,77721

13,23842226

9,675582684

1974

12,83462

13,32092731

9,557752549

Информация о работе Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа