Информация о математических методах и моделях в экономике из ГОС

В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

В динамических моделях в отличие от статических линейных и нелинейных моделей учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения,

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

 

Основные  этапы построения модели

1.  Определение цели, т.е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

2. Определение параметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
4. Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
5. Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Линейные модели

 

Линейные модели имеют широкое  применение при решении экономических  задач, возникающих в производстве, управлении финансами, торговле, транспортной отрасли и т.д. Построение линейных моделей является наиболее развитым разделом математического моделирования.

Широкое применение линейных моделей  любого вида и достаточно большой  размерности подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами.

 

Модели линейной оптимизации.

 Двойственность  и основные соотношения двойственности

К моделям линейной оптимизации  относятся задачи на максимум или  минимум линейной целевой функции  многих переменных при ограничениях на них в форме линейных равенств и неравенств.

С любой экономико-математической задачей, для которой можно построить  линейную модель, либо свести к построению линейной модели, связана двойственная задача. Прямая и двойственная задача тесно взаимосвязаны, так как оптимальное решение одной задачи можно получить непосредственно, зная оптимальное решение другой задачи. Совместное изучение прямой задачи и двойственной к ней дает, как правило, значительно больше информации.

Рассмотрим решения прямой и  двойственной задач графическим методом, с помощью которого легко иллюстрируются основные соотношения теории двойственности.

 

Пример 1. Решить графическим методом прямую и двойственную задачи (табл. 1).

 

Таблица 1

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать  при ограничениях

 

Решение прямой задачи.

Строим область допустимых решений задачи. Для этого нумеруем ограничения задачи

В прямоугольной декартовой системе  координат (рис. 2) строим прямую (p₁), соответствующую ограничению (1) по двум точкам, например, (– 7; 0) и (– 4; 2). Находим, какая из полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решений неравенства (1). Для этого достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая p₁ не проходит через начало координат, подставляем координаты точки в первое ограничение . Получаем строгое неравенство . Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Штриховкой отмечаем  полуплоскость, содержащую точку О. Аналогично строим прямую  (p₂) по двум точкам (0; 8) и (8; 0) и определяем область решений ограничения (2).

 

 

 

 

Находим общую часть  полуплоскостей решений, учитывая при  этом условия неотрицательности переменных. Полученная область допустимых решений на рисунке заштрихована и представляет собой ограниченный выпуклый многоугольник ОАВС.

Строим нормаль линий уровня  . Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до угловой точки В, которая расположена на прямой, называемой опорной. Эта опорная прямая проходит через точку В пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2), перпендикулярно нормали.

Определяем координаты точки В как пересечение прямых  p₁ и  p₂. Для этого решаем систему

Получаем:

 

    

Следовательно, координаты точки  . Оптимальное решение х₁^* = 2,        х₂^* = 6. Вычисляем максимум целевой функции: Уравнение опорной прямой имеет вид:

 

Решение двойственной задачи.

Для построения области допустимых решений занумеруем ограничения  задачи:

Строим прямые p₃ и p₄, уравнения которых: – 2у₁ + у₂ = 2  и 3у₁ + у₂ = 7. Учитывая условия неотрицательности переменных, определяем область допустимых решений. Полученная область представляет неограниченный сверху выпуклый многоугольник (рис. 3). Нормаль линии уровня .

В данной задаче необходимо найти минимум целевой функции, поэтому линию уровня перемещаем в направлении, противоположном направлению нормали до опорной прямой. Эта прямая проходит через точку D пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (3) и (4), перпендикулярно нормали.

Определяем координаты точки  D, как пересечение прямых p₃ и p₄. Для этого решаем систему

Получаем, что точка D имеет координаты . Оптимальное решение у₁^* = 1, у₂^* = 4. Вычисляем минимум целевой функции: Уравнение опорной прямой имеет вид: .

 

 

 

Как видно из приведенных решений  прямой и двойственной задач значения целевых функций равны:

При любом допустимом решении прямой задачи значение целевой функции « » (не превосходят) значений целевой функции двойственной задачи при ее допустимом произвольном решении.

 Например, при допустимом решении прямой задачи значение целевой функции , а при допустимом двойственной задачи значение целевой функции , т.е. .

 

Пример 2. Решить графическим методом прямую и двойственную задачи (табл. 2).

                                                                                                   Таблица 2

Прямая задача	Двойственная задача
Минимизировать  при ограничениях	Максимизировать при ограничениях

 

Для решения прямой задачи вводим нумерацию ограничений задачи:

Аналогично примеру 1 строим область допустимых решений, которая представляет собой выпуклый многоугольник не ограниченный  сверху. Нормаль линии уровня (рис. 4).

 

 

В данной задаче необходимо найти  минимум целевой функции, поэтому линию уровня перемещаем в направлении, противоположном направлению нормали, которая уходит в бесконечность. Задача не имеет оптимального решения из-за неограниченности снизу целевой функции на множестве допустимых решений.

 

Решение двойственной задачи.

Область допустимых решений для  данной задачи представляет собой пустое множество, что означает противоречивость системы ограничений  (рис. 5). Следовательно, и двойственная задача, так же как и прямая задача, не имеет решения.

 

 

Взаимозависимость оптимальных решений  пары двойственных задач определена следующими соотношениями:

Теорема (основное неравенство). Пусть Х – какое-нибудь допустимое решение прямой задачи, а Y – какое-нибудь допустимое решение двойственной задачи. Тогда справедливо неравенство

.

Следствие 1 (достаточный  признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и соответственно прямой и двойственной задач выполняется равенство

,

то  есть оптимальное решение прямой задачи,  а – оптимальное решение двойственной задачи.

Следствие 2. Если в одной из пары двойственных задач целевая  функция  не ограничена с соответствующей стороны  (т.е. в прямой задаче  или в двойственной задаче), то другая задача не имеет допустимых решений.

Основная теорема. Если разрешима одна из пары двойственных задач, то разрешима и другая задача, причем .

Остальные теоремы двойственности будут сформулированы в следующих  разделах данного пособия.

Для понимания экономической интерпретации  основных соотношений двойственности рассмотрим модель распределения ограниченных ресурсов, в которой целевая функция, отображающая прибыль или доход  от производственной деятельности, подлежит максимизации.

Формулировка  прямой задачи

Пусть фирма располагает  m  видами ресурсов Р₁ , Р₂ ,… Р_m и планирует организовать выпуск из них  n  видов продукции П₁ , П₂ ,…, П_n .

Известны следующие  исходные данные:

a_ij – нормы расхода i-го ресурса на изготовление одной единицы j-ой продукции П_j;

c_j  - прибыль от реализации одной единицы j-ой продукции П_j;

b_i -  количество ресурса i–го вида.

Требуется составить  план выпуска продукции  П₁, П₂,…П_n. из имеющихся объемов ресурсов Р₁, Р₂ ,…Р_m , при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Построим математическую модель этой задачи.

Обозначим за x_j  (j = 1,2,...,n) – число единиц продукции, запланированных к производству. Тогда прибыль от реализации j-го вида продукции составит  c_j∙x_j , а суммарная прибыль от реализации всей продукции будет равна: 

F = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ...+ c_n x_n.

 Согласно условиям  задачи, она подлежит максимизации. 

Затраты ресурса  P_i  на выпуск всей продукции  Х = (x₁, x₂ ,..., x_n ) будут выражаться суммой произведений норм расхода a_ij на объемы выпуска и составят величину, равную  a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n . Поскольку запас ресурса Р_i  равен  b_i , а расход ресурса не может превышать имеющегося его количества, то приходим к ограничениям следующего вида:

a_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_n £ b_i,     i = 1,2,...,m

Учитывая естественные условия неотрицательности объемов  выпуска продукции,

x_j

0,  j=1,2,...,n,

придем к следующей  задаче:

Найти такой план Х = (x₁, x₂ ,..., x_n) выпуска продукции, удовлетворяющий системе неравенств

    a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n £   b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n £   b₂,

 …   …   …   …   …   …   …

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n £   b_i,

…   …   …   …   …   …   …

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n £  b_m,

                                               x_j ³ 0,   j = 1, 2, …, n,

при котором функция  F = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n  принимает максимальное значение.

Формулировка  двойственной задачи

Предположим, что некоторая  организация решила закупить ресурсы Р₁ , Р₂ ,…, Р_m фирмы и необходимо определить цены на эти ресурсы у₁, у₂,…, у_m. Естественно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на покупку ресурсов в объеме b₁, b₂,…, b_m по ценам у₁, у₂,…, у_m были минимальны, то есть Z = b₁y₁ + b₂y₂ + … +b_my_m ® min.

Предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не меньше той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции j-го вида расходуется сырье Р₁ в объеме а_1j, сырье Р₂ в объеме а_2j…, сырье Р_m в объеме а_mj по цене у₁, у₂,…, у_m соответственно, то есть затраты на изготовление продукции П_j должны быть не меньше, чем цена ее реализации. Приходим к ограничениям следующего вида: