Информация о математических методах и моделях в экономике из ГОС

Введение

 

Экономико-математические методы и  модели, применяющиеся сегодня в  экономике, весьма разнообразны. Имеющиеся  учебники и монографии разных авторов  часто написаны с использованием различного математического аппарата, что затрудняет их изучение студентами нематематических специальностей и использование в практической деятельности. Экономико-математические методы входят в программу курса математики, а курс экономико-математические модели для ускоренной формы обучения специальности “Финансы и кредит” читается параллельно, поэтому в части I этого пособия уделяется много внимания математическим методам. Для дальнейшего усвоения, например, финансовых моделей и экономической интерпретации результатов, детально рассматривается экономическое содержание основных положений двойственности на основе модели распределения ограниченных ресурсов.

Поскольку большая часть  задач, связанных с математическим моделированием, оптимальным планированием, анализом может решаться с использованием вычислительной техники, и существует большое количество прикладных программ, предназначенных для этого, при изучении курса используется решения ряда задач на ЭВМ. При решении задач на ЭВМ используются различные программы, в том числе и табличный процессор Excel, включающий в себя подсистему “Поиск решений”. При решении задачи на ПК требуется определенным образом подготовить исходные данные, ввести их и осуществить управление процессом решения задачи, после чего необходима интерпретация полученного результата. Последний этап решения задачи наиболее важен для студентов – экономистов в их дальнейшей практической деятельности и  является для них, несомненно, творческим процессом при моделировании.

Научиться строить экономико-математические методы невозможно без  самостоятельного решения практических задач. Математические задачи с экономическим содержанием для экономистов отличаются большой трудоемкостью, так что на практических занятиях невозможно рассмотреть даже все те варианты задач, которые сводятся к моделям, например, линейной оптимизации, не говоря уже о моделях сетевого планирования и управления, динамических моделях, теории массового обслуживания и т.п. Поэтому еще больше усиливается значение самостоятельной работы студентов при изучении этого курса.

Для организации самостоятельной  и индивидуальной работы студентов  и предназначено данное пособие. Для самостоятельного решения студентам предлагается десять вариантов индивидуальных заданий.

В пособии приведено описание решения задач линейных моделей с использованием табличного процессора EXCEL и экономический анализ полученных решений.

 

 

Информация о математических методах и моделях

 в экономике из  ГОС

 

Согласно государственному стандарту  образования для  студентов экономических  специальностей, они должны знать  или иметь представление о  следующих разделах. Экономико-математические методы включены в программу математики.

Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри; марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.

Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; Кривые «доход –потребление»; кривые «цены – потребление»; коэффициент эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу – Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.

 

Классификация и принцип построения экономико-

математических  моделей

 

Основной  путь исследования системы – это построение модели. Моделирование – процесс, посредством которого исследователь стремится понять определенные аспекты реальной жизни. Модель не является точной копией реальности, а представляет собой упрощенный ее вариант, согласованный с задачами исследователя. Один и тот же объект в зависимости от целей исследования может иметь разные модели. Например, моделью человека может являться кукла, мешок с песком (100 кг) при испытании парашюта, ватный макет с большим числом датчиков при испытании противоударных средств в автомобиле, манекен при моделировании одежды и т.д..

С моделями мы часто встречаемся в обычной  жизни, возможно, не подозревая, что это модели.

В дальнейшем под моделированием мы будем понимать теоретические модели реальности, а не процесс изготовления моделей каких-либо предметов, например самолетов.

Моделирование как метод исследования имеет  альтернативу. Это – словесный, или «вербальный», анализ, оперирующий произвольными категориями с расплывчатыми результатами, которые трудно оценить. Нисколько не умаляя достоинств этого метода исследования, уместно указать на часто встречающийся недостаток «вербального» анализа: «Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы – и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных, споров» (В.И. Арнольд «Жесткие и мягкие модели»).

Процесс моделирования – это скорее искусство, чем наука. Тем не менее, он предполагает некоторые вполне определенные этапы. Моделирование – это прежде всего умение выделить главное. Модели должны быть по возможности простыми, однако они должны включать все самые важные части исследуемой системы (оригинала), самые важные функции и самые важные связи, внутрисистемные и внешние. Но таких элементов, выбранных для последующего детального исследования, должно быть ограниченное, небольшое количество, иначе будет трудно вести анализ.

Для того чтобы  найти главные части и связи  системы, следует сосредоточить внимание на трех важных моментах:

1. Определить главную цель системы, ответив на вопросы о том, зачем существует система и какие главные функции она выполняет.
2. Понять работу системы и определить главные части (подсистемы), участвующие в выполнении главной функции.
3. Установить важные связи между этими частями.

При этом связи  и части системы будут действительно  важными, если после их исключения из нее система «рассыпается». И наоборот, если мы исключили какую-то часть или связь и ничего не изменилось, то это не главная часть или, соответственно, не важная связь.

Пример:

 В экономике  есть два основополагающих понятия – спрос и предложение. Экономисты иногда шутят: «Научите попугая произносить два слова – спрос и предложение – и перед Вами готовый экономист». Однако исторически модель спроса и предложения строилась не так просто. А. Смит, отец экономической науки, в своей знаменитой книге «Богатство народов» (1776) оставил будущим поколениям вопрос: «Что есть цена?» Чтобы получить ответ на него, понадобились более ста лет. Разрешить загадку пыталась теория трудовой стоимости Д. Рикардо. Однако эта теория описывала предложение, но не описывала спрос. В результате она стала классической теорией издержек, но не теорией цены, Для того чтобы превратиться в теорию цены, ей не хватало одного очень важного элемента – спроса. Аналогичный недостаток имела альтернативная теория – маргинализм. Она описывала спрос, но не описывала предложение. Загадка А. Смита была разгадана лишь в 1890 г. А. Маршаллом в книге «Принципы экономической теории», где в виде диаграммы была предложена модель спроса и предложения. Этой модели уже более ста лет. Тем не менее, сегодняшняя микроэкономическая теория мало отличается от того, о чем писал А. Маршалл.

Следует отметить, что рецептов построения хорошей  модели не существует. Известный американский ученый Р. Шэннон указывал, что «любой набор правил для разработки моделей, в лучшем случае имеет ограниченную полезность и может служить лишь предположительно в качестве каркаса будущей модели или отправного пункта в ее построении». Кроме того, следует иметь в виду, что модель, успешно применяемая в одних случаях, в других может оказаться бесполезной. «Культура моделирования требует, чтобы для каждой модели был указан перечень условий, при которых данная модель верна. От модели не требуется истинность. Модель должна быть адекватной, работоспособной, т.е. давать удовлетворительные ответы на поставленные вопросы». Если модель не дает ответ на поставленный вопрос, то она уточняется или заменяется новой.

Пример:

В экономической теории часто используется линейная модель спроса и предложения. Несмотря на свою предельную простоту (в реальности кривые спроса и предложения вряд ли бывают прямыми линиями), она дает ответы на многие экономические вопросы: установление рыночного равновесия, определение равновесной цены, изменение спроса, изменений предложения и т.д. Когда же модель спроса и предложения не дает ответы на поставленные вопросы, она уточняется или заменяется новой. В этом случае, возможно, обращаются к более сложному для исследования варианту модели, где кривые спроса и предложения представляются нелинейными функциями.

Научиться моделированию, ограничившись только формальным усвоением каких-то правил, конечно, невозможно. Но все же есть советы, к которым стоит прислушаться. Например, к советам академика Ю.И. Неймарка. Они достаточно общие и не могут служить непосредственным указанием к действию, но дают разумные подсказки, что и как следует делать:

1. Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.
2. Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно.
3. Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.
4. Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.
5. Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

 

Основные принципы построения математической модели

1. Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тех исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
2. Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
3. Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.

4. Любая сложная  система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой, т.е. сохранять свои свойства и структуру при этих воздействиях.

 

Классификация математических моделей

По числу  критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные (рис. 1). Многокритериальные матема-тические модели содержат два и более критерия.

По учету  неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. п.). Среди стохастических можно выделить:

• модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;
• модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;
• модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решении.

Для моделирования  ситуаций, зависящих от факторов, для  которых невозможно собрать статистические данные, либо значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.  В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например организацию предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействий на него, например организация производственного процесса.

В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство социально-экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения.

Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

 

Рис. 1

 

Нелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) не линейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случиться и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода