Динамическая модель Леонтьева

Определение. Коэффициенты b_^ij называются коэффициентами полных материальных затрат, а матрица B={b_^ij} мультипликатором Леонтьева.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Пример. Для матрицы технологических коэффициентов экономики СССР построить матрицу полных затрат.

Матрица В равна: 

(2.11) 

В таб. (2.11) каждый  коэффициент b_^ij – это количество продукции (в руб.) отрасли i необходимое для обеспечения выпуска конечной продукции отраслью j на один рубль.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Пример (Продолжение).

Сопоставляя значения  коэффициентов матриц А и В, видно, что полные затраты выше  прямых (например, b_¹²/a_¹²=5.1). Это согласуется с экономическим смыслом этих коэффициентов.

Коэффициенты b_^ij позволяют вычислять валовые выпуски x_¹, x_², x_³ по заданным значениям их конечной продукции: 

Зная валовые выпуски  отраслей легко рассчитать элементы  матрицы межотраслевых поставок:

     x_^ij=a_^ij*x_^j

Статическая  модель межотраслевого  баланса в натуральном  выражении 

Введем матрицу  цен на продукцию P={p_^ij}, при этом p_ⁱⁱ>0, а p_^ij=0,при i≠j и x^_i*, y^_i* валовой и конечный спросы на продукцию отрасли i. Тогда можно записать связь между соответствующими продуктами в виде:

x_ⁱ=p_ⁱⁱx^_i*; y_ⁱ=p_ⁱⁱy^_i* или в векторном виде:  X=PX*,  Y=PY*.

Подставив полученные  выражения в (2.6), получим:

     APX* +PY* = PX*   (2.12)

 

Умножив обе части  уравнения (2.11) на P^-1, получим:

     Р^-1АРХ* +Р^-1РY* = P^-1PX*

 или     A*X* +Y* = X*

Здесь А*=Р^-1АР={a_^ij*} –матрица технологических коэффициентов в натуральном выражении. 

По  своим свойствам  матрицы А и А* не отличаются.

Статическая  модель межотраслевого  баланса в натуральном  выражении 

Можно по аналогии  перейти от структурной формы  модели в натуральных показателях  к приведенной: 

Связь между матрицами  В и В* задается выражением: 

Обычно СММБ составляются  одновременно в натуральном и  стоимостном выражениях.

Таблица тождества межотраслевого баланса 

Lx 

Ly 

Lⁿ 

… 

L^j 

… 

L¹ 

Труд 

xⁿ 

… 

x^j 

… 

x¹ 

Валовый  выпуск X^T 

zⁿ 

… 

z^j 

… 

z¹ 

Добавленная  стоимость 

xⁿ 

yⁿ 

xⁿⁿ 

… 

x^nj 

… 

xⁿ¹ 

n 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

xⁱ 

yⁱ 

xⁱⁿ 

… 

x^ij 

… 

xⁱ¹ 

j 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

x¹ 

y¹ 

x¹ⁿ 

… 

x^1j 

… 

x¹¹ 

1 

Отрасли  как производители 

x 

Y 

n 

… 

J 

… 

1 

Валовый

выпуск 

Конечный

  спрос 

Отрасли  как  потребители 

№  отрасли 
 

№  отрасли 

Таблица  межотраслевого баланса

Анализ таблицы межотраслевого баланса 

Таблица межотраслевого  баланса наглядно воспроизводит  качественную и количественную  структуры межотраслевых связей.

Так строка i показывает  распределение валового выпуска  отрасли i. При этом имеет место  равенство 

Столбец j описывает  производственные затраты отрасли j на выпуск ее продукции. При  этом справедливо равенство: 

(2.13) 

(2.14) 

Тождество (2.14) – баланс  затрат 

Тождество (2.13) – баланс  выпуска

Анализ таблицы межотраслевого баланса 

Из соотношений (2.13) и (2.14) вытекают два тождества: 

Тождества (2.15) означают, что производственные затраты  отрасли i, увеличенные на добавленную  стоимость ее продукции, равны  стоимости выпуска этой продукции

Просуммировав (2.15) по i, получим второе тождество: 

(2.15) 

(2.16) 

Тождество (2.16) означает, что общая сумма конечных спросов  равна общей сумме добавленных  стоимостей

Равенства (2.15-2.16) называют  тождествами межотраслевого баланса