Динамическая модель Леонтьева

Модели

 межотраслевого баланса

Модели межотраслевого баланса 

1.   Основные допущения  и предпосылки.

  1. Рассматривается  производственный сектор экономики.

  2. Производственный  сектор экономики разделен на  отдельные        отрасли. Каждая отрасль производит один вид продукта.

2.  Основные понятия  и постановка задачи.

n – количество отраслей в производственном секторе экономики; 

y  = {y_¹,y_²,…,y_ⁿ}^Т – вектор конечных продуктов (конечный спрос).

           y_ⁱ- количество продукта в стоимостном выражении отрасли i, которое необходимо для нужд экономики.

  Сюда не  вход продукция i-ой отрасли, которая  необходима для удовлетворения  потребностей производственного  сектора.

 

X^p ={x^₁p,x^₂p,…,x^_np}^Т – вектор промежуточного спроса.

  Здесь x^_ip – количество продукции отрасли i, которое необходимо для всех отраслей производственного сектора. 

X={x_¹,x_²,…,x_³}^Т – вектор валового выпуска продукции.

  xi- количество  продукции отрасли I, которое  необходимо для обеспечения конечного  и промежуточного спросов экономики.

Модели межотраслевого баланса 

Задачи  межотраслевого баланса. 

1.  Определение количества валового продукта X={x¹,x²,…,x³}^Т, производственного сектора экономики по известному конечному спросу y = {y¹,y²,…,yⁿ}^Т. 
 

2. Как распределить  по отраслям производства промежуточный  продукт каждой отрасли.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Для решения поставленных  задач необходимо найти функции:

    x¹=f¹(y¹,y²,…,yⁿ)

    x²=f²(y¹,y²,…,yⁿ)

    xⁿ=fⁿ(y¹,y²,…,yⁿ) 

И функции φ^ij(x^j) j=1,2,…,n, которые определяют, какое количество продукта отрасли i необходимо отрасли j для выпуска своей продукции в объеме x^j.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

2.1.  Построение функции  φ_^ij(x_^j).

Пусть функции fⁱ(y_¹,y_²,…,y_ⁿ) известны.

Тогда очевидно, что x_ⁱ=x^_ip +y_ⁱ или

                x^_ip =y_ⁱ –x_ⁱ     (2.1)

Пусть x_^ij – часть величины x^_ip, которая необходима для отрасли j, чтобы обеспечить выпуск своей продукции в количестве x_^j.

Тогда должно выполняться  равенство:

                x^_ip=x_ⁱ¹+x_ⁱ²+…+x_ⁱⁿ=Σx_^ij   (2.2)

X_^ij-зависит от x_^j, чем больше выпуск продукции, тем больше ресурсов для этого необходимо:

                        x^ij =φ^ij(x^j)

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Примем, что φ_^ij(x_^j) – линейная функция вида:

                φ_^ij(x_^j)=b_^ij + a_^ijx_^j   (2.3)

Коэффициент b_^ij можно определить из условия, если x_^j=0, то x_^ij=0. Другими словами. Если отрасль ничего не произ-водит, то ей не нужны и ресурсы. Следовательно, b_^ij=0.

Окончательно:  x_^ij = a_^ijx_^j   (2.4)

Определение. Коэффициенты a_^ij в равенстве (2.4) называются технологическими коэффициентами прямых затрат.

Коэффициент a_^ij численно равен тому количеству продукции отрасли i, которое необходимо отрасли j для производства единицы своей продукции.

Определение. Матрица А={a_^ij} называется матрицей прямых материальных затрат.

Определение. Матрица Х={x_^ij} называется матрицей межотраслевых поставок.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Если значения коэффициентов a_^ij известны тогда можно записать:

                x^_ip = Σa_^ijx_^j i=1,2,…,n

А величина валового  выпуска из (2.1) есть:

                x_ⁱ = Σa_^ijx_^j + y_ⁱ, i=1,2,…,n  (2.5) 

Определение. Выражение (2.5) называется точечной моделью «затраты-выпуск» или статической моделью межотраслевого баланса. 

Модель впервые  была предложена В.Леонтьевым.

Модель представляет  собой систему из n уравнений с n неизвестными.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

В векторной форме  модель (2.5) имеет вид:

                      AX +  Y = X   (2.6)

Определение. Форма (2.6) называется канонической или структурной формой статической модели межотраслевого баланса.

Решив уравнение (2.6) относительно Y получим:

                Y =  (E – A)X   (2.7)

 где Е единичная матрица.

Тогда решение задачи 1 получим в следующем виде:

    X = (E-A)^-1Y   (2.8)

 или   X = BY    (2.9)

Определение. Форма (2.9) СММБ называется приведенной формой модели «затраты-выпуск».

Модель (2.9) позволяет  определить валовой выпуск продукции  производственного сектора экономики  по заданному конечному спросу.

Значения технологических  коэффициентов a^ij определяются методами эконометрики по результатам наблюдений за функционированием экономики. 

Определение. Матрица X^p={x^ij} называется матрицей межотраслевых поставок (межотраслевых потоков).

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

 Свойства технологических коэффициентов

По определению  все y_ⁱ≥0 и x_^j≥0 тогда следует:

                a_^ij ≥0 при всех i и j

                x_ⁱⁱ=a_^ijx_ⁱ ≤ x_ⁱ

 т.к. поставки самому себе по определению меньше валового выпуска. Следовательно:  0≤a_^ij≤1. 

Главное свойство  – матрица А не имеет нулевых  столбцов.  

Экономически это  означает, что ни одна отрасль не может что-либо производить ничего не потребляя.

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

Рассмотрим матрицу  межотраслевых поставок X={x_^ij}

Ее столбец j представляет  собой затраты отраслей производственного  сектора на валовый выпуск x_^j отрасли j.

Очевидно, что валовый  выпуск всегда больше суммы  промежуточных затрат, т.е: 

Величина z_ⁱ называется добавленной стоимостью отрасли j или вновь созданной стоимостью и включает в себя оплату труда рабочих в отрасли j, амортизационные отчисления и прибыль отрасли j.

Модели межотраслевого баланса 

Примеры. Фрагменты матриц технологических коэффициентов для экономик СССР (1972г) и Японии (1980) 
 

 a³³=0.2020 

 a³²=0.2586 

 a³¹=0.0085 

Сельское хоз. 

 a²³=0.0396 

 a²²=0.3166 

 a²¹=0.0185 

Легкая промышл. 

 a¹³=0.1145 

 a¹²=0.0397 

 a¹¹=0.4339 

Тяжелая промышл. 

Сельское хозяйство 

Легкая промышл. 

Тяжелая промышл. 

 i\j 

 a³³=0.1078 

 a³²=0.0004 

 a³¹=0.1645 

Сельское хоз. 

 a²³=0.0683 

 a²²=0.4525 

 a²¹=0.0980 

Легкая промышл. 

 a¹³=0.1158 

 a¹²=0.0433 

 a¹¹=0.2311 

Тяжелая промышл. 

Сельское хозяйство 

Легкая промышл. 

Тяжелая промышл. 

 i\j 

СССР 

Япония

Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 

 Коэффициенты полных материальных затрат.

Рассмотрим приведенную  форму модели «затраты-выпуск»  в точечном (координатном) виде:

     x_ⁱ = Σb_^ijy_^j

Зафиксируем номер J, а значениям конечных спросов  присвоим следующие значения:  y_¹=0,y_²=0,…,y_^j=1,y_^j+1=0,…,y_ⁿ=0

Тогда получим:   x_ⁱ=b_^ij   (2.10)

Следовательно, b_^ij есть количество валовой продукции отрасли i, которое необходимо для выпуска единицы конечной продукции отраслью j.