Задачи по “Принятие решений”

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

Кафедра “Вычислительные  системы и технологии”

 

 

 

 

 

 

 

Задачи по дисциплине “Принятие решений”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнили:

студенты ИРИТ

группы 07-В-1

 

Принял:

Кондратьев В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
2010 г.

Задача №1.

Преподаватель задает студенту 5 утверждений, ответ на которые может быть либо “Да”, либо “Нет”. Студенту известно, что преподаватель никогда не задает подряд 3 вопроса на которые есть один и тот же ответ. Отвечающий студент также точно знает ответ на второй вопрос, и то, что число ответов “Да” превышает число ответов “Нет”, кроме того, известно, что ответы на первый и последний вопросы противоположны. Каковы ответы на вопросы?

 

Решение:

Нам необходимо составить модель данной ситуации, основываясь на условиях задачи. Модель будет иметь вид  таблицы. Установим, что ответ “Да” соответствует значению “1”, а “Нет” – “0”. Студенту необходимо выделить одну комбинацию среди многих вариантов. Общее число вопросов=5. Исходя из условий №2 (число единиц больше числа нулей) и 3 (1-ый и 5-ый ответы противоположны) можем выделить возможные наборы ответов из множества всех вариантов (ответы кодируем нулями и единицами):

 

	X1	X2	X3	X4	X5
Комб.№1	0	1	1	0	1
Комб.№2	1	1	0	1	0
Комб.№3	1	0	1	1	0
Комб.№4	0	1	0	1	1

 

Из условия №1 (студент точно  знает ответ на 2 вопрос) следует, что из указанных вариантов необходимо выбрать вариант №3.Т.к. комбинации 1, 2 и 4 имеют одинаковый ответ на вопрос 2, т.е. студенту неизвестно какую комбинацию выбрать, что противоречит условию. Только в комбинации №2 ответ 2 строго определен, в остальных случаях присутствует неопределенность при выборе комбинации.

Искомая последовательность ответов: Да-Нет-Да-Да-Нет.

 

Задача №2.

Некто находится в комнате, из которой  ведут два выхода – один из них  ведет на свободу, другой в ловушку. В комнате присутствует два стражника, один всегда говорит правду, другой всегда лжет, причем неизвестно, кто  именно. Нужно задать один вопрос любому из стражников, чтобы определить правильный выход.

 

Опишем ситуацию через три переменные.

Х = [0,1] – описывает выход, 1 –  выход правильный

Y = [0,1] – описывает охранника, 1 –  охранник говорит правду

Z = [0,1] – описывает ответ, 1 –  согласие

 

X	Y	Z
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

Очевидно, что это операция эквивалентности Z = XóY

 

Очевидно, что ответ на вопрос “говоришь  ли ты правду” одинаков у обоих  охранников, как и ответ на вопрос “говоришь ли ты ложь”. Вопрос надо сформулировать исходя из данной операции Z = XóY, то есть нам нужен конкретный ответ на вопрос при совпадении правдивости охранника и спасительности двери.

То есть возможно следующие варианты вопросов:

• “являешься ли ты правдолюбом настолько же, насколько эта дверь ведет на свободу”
• “являешься ли ты лжецом настолько же, насколько эта дверь ведет в ловушку”

 

Можно так же рассмотреть следующий  вариант моделирования ситуации.

 

Х = [0,1] – описывает выход, 1 –  выход правильный

Y = [0,1] –  описывает ответ охранника на  вопрос “Ты правдив?”, всегда  равен единице

Z = [0,1] –  ответ на вопрос, задаваемый операцией  Z = XóY

 

X	Y	Z
0	1	0
0	1	0
1	1	1
1	1	1

 

Вопрос надо формулировать из той  же самой формулы, что и в предыдущем примере, но здесь мы однозначно можем  сказать, что если охранник отвечает “да”, то можем выходить в указанную  дверь. В противном случае, выход  находится за другой дверью.

 

Задача №3.

Человеку нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. При этом нельзя оставлять на одном берегу козу и волка или козу и капусту, а в лодке с крестьянином может находиться только один объект. Построить алгоритм перевозки? Построить алгоритм с использованием элементарных логических функций..

 

Решение:

С козой связаны две проблемные ситуации (волк с козой и капуста с козой), в отличие от волка и капусты (по одной). Значит, следует перевести козу. Далее перевезя козу на другой берег, следует оставить козу там, вернуться за волком/капустой, отвезти на другой берег и забрать козу. Снова оставить козу на первом берегу. Перевести оставшийся объект (получим волка и капусту на втором берегу). Вернуться за козой и перевести ее. Задача решена.

 

Введем обозначения:

a –  положение человека, 0 – на исходном берегу

x₁ – положение капусты, 0 – на исходном берегу

x₂ – положение козы, 0 – на исходном берегу

x₃ – положение волка, 0 – на исходном берегу

 

Входы можно описать через  m₁, m₂, m₃ – каждый принимает 0/1 указывая таким образом на перевозимый объект. Одновременно равен 1 может быть только один вход. Но ничего не мешает им всем быть равными 0.

 

Так запрещающая функция Z=Z(x₁,x₂,x₃,k,u₁,u₂,u₃), 0 – можно перевозить, 1 – нельзя.

Обозначим Y_i=x_i m_i.

Таким образом на основе изложенного  выше алгоритм получим:

,

Но данная функция позволяет увозить то, что уже перевезено. Итоговая функция равна:

 

Полученная реализует в полной мере изложенный алгоритм. Её значение показывает возможность перевозки, где Z’ = 0-перевозка невозможна, 1 – перевозка возможна.

 

 

 

Задача №4.

Преподаватель задает студенту 5 утверждений, ответ на которые может быть либо “Да”, либо “Нет”. Студенту известно, что преподаватель никогда не задает подряд 3 вопроса на которые есть один и тот же ответ. Отвечающий студент также точно знает ответ на второй вопрос, и то, что число ответов “Да” превышает число ответов “Нет”, кроме того, известно, что ответы на первый и последний вопросы противоположны. Каковы ответы на вопросы?

 

Решение:

Нам необходимо составить модель данной ситуации, основываясь на условиях задачи. Модель будет иметь вид  таблицы. Установим, что ответ “Да” соответствует значению “1”, а “Нет” – “0”. Студенту необходимо выделить одну комбинацию среди многих вариантов. Общее число вопросов=5. Исходя из условий №2 (число единиц больше числа нулей) и 3 (1-ый и 5-ый ответы противоположны) можем выделить возможные наборы ответов из множества всех вариантов (ответы кодируем нулями и единицами):

 

 

	X1	X2	X3	X4	X5
Комб.№1	0	1	1	0	1
Комб.№2	1	1	0	1	0
Комб.№3	1	0	1	1	0
Комб.№4	0	1	0	1	1

 

Из условия №1 (студент точно  знает ответ на 2 вопрос) следует, что из указанных вариантов необходимо выбрать вариант №3.Т.к. комбинации 1, 2 и 4 имеют одинаковый ответ на вопрос 2, т.е. студенту неизвестно какую комбинацию выбрать, что противоречит условию. Только в комбинации №2 ответ 2 строго определен, в остальных случаях присутствует неопределенность при выборе комбинации.

Искомая последовательность ответов: Да-Нет-Да-Да-Нет.

 

Задача №5.

 

Каждый день в полдень из Гавра  в Нью-Йорк отправляется пароход  и в тот же самый момент пароход  той же компании отправляется из Ню-Йорка  в Гавр. Переезд совершается ровно 7 суток, как в том, так и в другом направлении. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встретит пароход, отправляющийся сегодня в полдень из Гавра? Составить модель.

Решение:

Убедительное и наглядное решение  можно получить при помощи графиков движения каждого из пароходов:

На примере парохода, график которого изображен линией АБ, видно, что пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк, встретит в море 13 судов да еще два: один в момент отхода (прибывающий из Нью-Йорка) и один в момент прихода в Нью-Йорк (отбывающий из Нью-Йорка), или всего 15 судов. Еще столько же судов встретит пароход и на обратном пути из Нью-Йорка в Гавр. Всего 30 судов.

 

Задача №6.

Задумайте число, прибавьте к нему 125, к результату прибавьте 25, вычтете 40, вычтете задуманное число, результат умножьте на 5 и разделите на 2. Сообщите результат ведущему.

 

Решение:

 

Обозначим за х задуманное число.

Запишем все действия в виде операций и преобразуем выражение:

((х+125+25-40-х)*5)/2 = 110*5/2 = 275

Как видно из данного выражения, результатом всегда будет одно и  то же число, независимо от задуманного. Все задачи на эту тему решаются однотипно, путем математических преобразований, так чтобы получить конечный результат, единый для всех случаев в правой части уравнения.

 

Задача №7:

Задумайте число X, далее произведите действия по следующему алгоритму:

1) Умножьте на 2

2) Прибавьте 5

3) Умножьте на 5

4) Прибавьте 10

5) Умножьте на 10

В результате получите результат в  виде S=(X*100+350), объясните, как это получилось.

Пример:

X=13

S=1650=13*100+350.

 

Решение:

Наши действия можно разделить  непосредственно на две части: действия с нашим числом и действия с добавкой (прибавляемой к нашему числу).

S = (((X*2+5) *5) +10)*10.

С нашим числом непосредственно проводятся три действия: умножение на 2, 5, 10 последовательно. Отсюда получаем итоговый множитель 100, т.к. произведение 2*5*10=100.

 

Теперь рассмотрим действия с добавкой.

Первая часть прибавляется на втором шаге: Прибавьте 5. Затем она умножается на 5 и составляет уже 25. После чего прибавляется еще 10 (результат=35) и умножается на 10. В итоге имеем добавку равную 350.

 

 

Задача №8

Что объясняет смену дня и  ночи?

а) Земля вращается вокруг собственной  оси,

б) Солнце вращается вокруг своей  оси,

в) Ось Земли наклонена,

г) Земля вращается вокруг Солнца.

 

Решение:

 

Ни один из предложенных вариантов  ответа не является правильным, так  как варианты ответов б) (Солнце вращается  вокруг своей оси) и в) (Земная ось  наклонена) являются заведомо неверными; а варианты а) и г) не могут в полной мере быть приняты в качестве ответа. Они могут частично объяснить явление смены дня и ночи и ночи, но только с точки зрения периода (длины цикла) смены дня и ночи – для а) - 24 часа, для г) – ½ года. Но ни одно из приведенных утверждений само по себе не объясняет явление в полной мере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №9.

Записать передаточную функцию  для интегрирующей RC-цепи. Построить уравнения состояния.

 

Решение:

 

 

1)  Выберем направление токов (отмечены на схеме).

     Применив правила Кирхгофа, получим:

 

 

 

 

 

Введем постоянную времени  :

 

 

 

Выразив отношение выходного напряжения ко входному и получим передаточную функцию: