Задача оптимального производства продукции

при этом сырьё В и С будет использовано полностью ( , ), а остаток сырья составит ед.

 

 Задача 2.

Игра  задана матрицей

.

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения  цены игры. (Задачу решить аналитическим  методом.)

 

 

Решение.

Прежде, чем искать оптимальные смешанные стратегии игроков, проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.

Находим нижнюю цену игры:

.

Находим верхнюю цену игры:

.

Так как  , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.

В данной матрице:

.

По известным формулам находим вероятности оптимальной смешанной стратегии S₁ = (р₁, р₂) первого игрока, вероятности оптимальной смешанной стратегии S₂ = (q₁, q₂) второго игрока и цену игры v:

;

;

;

;

.

Ответ: ,  ,  .

 

 Задача 3.

Игра задана матрицей:

.

Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

 

Решение.

Прежде, чем искать оптимальные смешанные стратегии игроков, проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.

Находим нижнюю цену игры:   .

Находим верхнюю цену игры:   .

Так как  , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.

Две стратегии имеет второй игрок, поэтому графическим методом найдём оптимальную смешанную стратегию второго игрока.

1. В декартовой системе координат строим прямую х = 1 и по оси абсцисс откладываем отрезок длиной 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B₁, правый (x = 1) – стратегии B₂. Промежуточные точки х соответствуют вероятностям S₂ = (q₁,q₂) некоторых смешанных стратегий (q₂ = x,  q₁ = 1 – x).

2. На оси ординат откладываем выигрыши стратегии B₁ (левый столбец матрицы С₂). На прямой х = 1 откладываем выигрыши стратегии B₂ (правый столбец матрицы С₂).

3. Решение игры проводим с позиции игрока B, придерживающегося минимаксной стратегии. Ей соответствует верхняя огибающая всех прямых.

                                                                                                                                             А₁

 

 

                                                                                                                                             А₃

 

  А_2,     А₄

                                                   М

 

  А₃                                                                                                                                       А₄

 

 

  А₁

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                             А₂

4. Нижняя точка М ломаной находится на пересечении прямых А₃А₃ и А₄А₄. Для нахождения её координат составим систему уравнений:

;

;

.

Запишем оптимальную смешанную  стратегию второго игрока:

,  .

Запишем цену игры:

.

5. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока.

Поскольку точка М находится  на пересечении прямых А₃А₃ и А₄А₄, то стратегии А₁ и А₂ исключаем как заведомо невыгодные:

.

Оптимальные вероятности стратегий  А₃ и А₄ найдём, решив систему уравнений:

;

по формулам Крамера:

;

;

;

,    .

Запишем оптимальную смешанную  стратегию первого игрока:

.

 

Ответ: ,  ,  .

 

Задача 4.

Найти оптимальные стратегии и  цену игры, заданной платёжной матрицей А:

14.  .

 

 

Решение.

Проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.

Находим нижнюю цену игры:

.

Находим верхнюю цену игры:

.

Так как  , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.

 

Предварительно упростим матрицу  А, убрав из рассмотрения заведомо невыигрышные (доминируемые) стратегии.

Для первого игрока 1-я стратегия  доминируется 3-й стратегией (элементы 1-й строки не больше соответствующих  элементов 3-й строки). Убираем 1-ю  строку из матрицы, поскольку вероятность выбора этой стратегии первым игроком равна нулю. Получим матрицу:

.

Далее видим, что элементы 3-го столбца не больше соответствующих элементов 1-го столбца и 4-го столбца, следовательно, у второго игрока 2-я стратегия доминирует 1-ю и 4-ю стратегии. Вычёркиваем 1-й и 4-й столбцы из матрицы. Получим матрицу:

.

В данной матрице:

.

Эту игру решим аналитически.

Находим вероятности оптимальной смешанной стратегии S₁ = (р₁, р₂) первого игрока, вероятности оптимальной смешанной стратегии S₂ = (q₁, q₂) второго игрока и цену игры v по формулам:

;

;

;

;

.

Поскольку при упрощении матрицы А была убрана 1-я строка, то при возвращении к исходной матрице А получаем, что есть вероятность, с которой первый игрок выбирает 2-ю чистую стратегию, а есть вероятность, с которой первый игрок выбирает 3-ю чистую стратегию. 1-ю чистую стратегию первый игрок выбирает с нулевой вероятностью. Таким образом, оптимальная смешанная стратегия первого игрока:

.

Аналогично получаем оптимальную смешанную стратегию второго игрока:

.

 

Ответ: ,  ,  .