Оглавление
Введение
Как показывает практика, нередко возникает
потребность согласования каких-либо
операций компаний, организаций, министерств
и остальных соучастников проектов, если
их круг интересов не совпадает. В подобных
моментах теория игр дает возможность
найти наилучшее решение для поведения
соучастников, вынужденных согласовывать
свои действия при столкновении интересов.
Теория игр все шире проникает в практику
экономических решений и исследований.
Она является, своего рода инструментом,
который помогает увеличить эффективность
плановых и управленческих решений. Это
играет огромную роль при решении задач
в промышленности, аграрном хозяйстве,
в транспорте, в торговле, в особенности
при заключении договоров с иностранными
партнерами.
Как правило, под теорией игр понимают
раздел математики для изучения конфликтных
вопросов. Данное означает, что возможно
сформировать рациональные правила действий
любой стороны, принимающей участие в
решение конфликтной ситуации.
В экономике же этого математического
определения оказалось недостаточным.
Возникла потребность исследования так
называемых оптимальных минимаксных и
максиминных решений. Таким образом, теорию
игр можно расценивать как новый пункт
оптимизационного подхода, который позволяет
решать новые задачи при принятии решений.
Основные понятия
теории игр
Игра – это модель конфликтной
ситуации, в которой имеется как минимум
два участника, где каждый стремится достичь
своей цели. Стороны, которые принимают
участие в конфликте – игроками. А результат
конфликта – выигрышем. Условия, которые
нужно соблюдать, для достижения цели,
называются правилами игры. Правила определяют
разновидность поведения игроков, диапазон
данных каждого игрока о действии партнеров,
выигрыш, обычно он задается количественно,
т. е. проигрыш оценивается нулем, а выигрыш
– единицей.
Игра, в которой участвует два
игрока, называется парной; и множественной,
если игроков больше двух. Игра с нулевой
суммой (антагонистической) – игра, при
которой выигрыш одного участника равен
проигрышу другого. В данном случае для
полного задания игры можно указывать
всего одну из величин. Обозначим выигрыш
одного из участников А,
выигрыш второго – В.
тогда для игры с нулевой суммой В=-А,
поэтому достаточно рассматривать, например,
только значение А.
Выбор и реализация одного из
предусмотренных правилами действий называется
ходом игрока. Ходы имеют два вида: личные
и случайные. Личный ход – это осмысленный
выбор игроком одного из возможных действий.
Например, ход в карточной игре. Случайный
ход – это случайно выбранное действие.
Например, выбор бочонка из мешка лото.
Стратегией игрока называется
совокупность правил, определяющих выбор
его действия при каждом личном ходе, в
зависимости от сложившейся ситуации.
Как правило, в ходе игры при каждом личном
ходе участник делает выбор в связи с определенными
обстоятельствами. Но может быть такое,
что все решения игрок принял заранее.
Данное обозначает, что участник избрал
некоторую стратегию, возможно заданная
в виде перечня правил или программы.
Игра называется конечной, при условии,
что у каждого участника существует определенное
число стратегий, и бесконечной – в обратном
случае.
Для того, чтобы найти решение
игры, необходимо индивидуально для каждого
игрока подобрать стратегию, удовлетворяющую
условию оптимальности, т. е. один из игроков
должен получить максимальный выигрыш,
когда второй держится своей стратегии.
Вместе с тем, второй участник обязан иметь
наименьший проигрыш, в случае, когда первый
придерживается своей стратегии. Такие
стратегии называются оптимальными. Оптимальные
стратегии вместе с тем обязаны удовлетворять
условию устойчивости, т. е. каждому из
игроков должно быть невыгодно отказываться
от своей стратегии в данной игре.
Когда игра повторяется несколько
раз, то участников может стимулировать
не выигрыш и поражение в каждой определенной
партии, а средний выигрыш или (проигрыш)
во всех партиях.
Целью теории игр считается
установление оптимальной стратегии для
каждого игрока. При подборе наилучшей
стратегии естественно предполагать,
что тот и другой участник игры ведет себя
логично и разумно с точки зрения собственных
интересов. Важнейшее ограничение теории
игр – естественность выигрыша как показателя
эффективности, в то время как в большинстве
реальных экономических задач имеется
более одного показателя эффективности.
Помимо этого, в экономике, обычно, появляются
задачи, в которых интересы участников
не обязательно антагонистические.
Классификация игр
Классификация игр может быть:
по численности участников, количеству
стратегий, виду взаимодействия игроков,
характеру выигрыша, количеству ходов,
состоянию информации и т.д.
В зависимости от числа участников
различают игры двух и более игроков (парные
и множественные). Парные более изучены.
Игры трёх и более игроков наименее изучаемы
по причине появляющихся принципиальных
трудностей и технических возможностей
получения решения. Чем больше игроков
– тем больше проблем.
Также игры можно разделить
по количеству стратегий на конечные и
бесконечные. В случае, когда у игроков
имеется только ограниченное количество
возможных стратегий, она называется конечной.
Игра называется бесконечной, если хотя
бы один из участников игры обладает бесконечным
числом возможных стратегий.
По характеру взаимодействия
игры делятся на: бескоалиционные: игроки
не имеют права вступать в соглашения,
образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные)
могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции
определены наперед.
Как уже выше было сказано, игры
можно делить по характеру выигрышей: игры
с нулевой суммой (сумма
выигрышей всех игроков равна нулю) и игры
с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры
делятся на: матричные, биматричные, непрерывные,
выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей
и др.
Матричная игра это конечная игра двух
игроков с нулевой суммой, в которой задаётся
выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка
матрицы соответствует номеру применяемой
стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой
стратегии игрока 2; на пересечении строки
и столбца матрицы находится выигрыш игрока
1, соответствующий применяемым стратегиям).
Доказано, что любая матричная
игра имеет решение, которое может быть
легко найдено путём сведения игры к задаче
линейного программирования.
Биматричная игра это конечная
игра двух игроков с ненулевой суммой,
в которой выигрыши каждого игрока задаются
матрицами отдельно для соответствующего
игрока (в каждой матрице строка соответствует
стратегии игрока 1, столбец стратегии
игрока 2, на пересечении строки и столбца
в первой матрице находится выигрыш игрока
1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана
теория оптимального поведения игроков,
однако решать такие игры сложнее, чем
обычные матричные.
Игра считается непрерывной,
в том случае, когда функция выигрышей
каждого участника становится непрерывной
в зависимости от стратегий. Такие игры
имеют решения и это доказано. Но практически
приемлемых методов их нахождения не разработано.
Игра называется выпуклой, если
функция выигрышей является выпуклой.
Для таких игр оптимальные методы решения
разработаны. Они состоят в нахождении
определённого числа стратегии для одного
участника игры и вероятностей применения
чистых оптимальных стратегий другого
игрока. Данная задача разрешается относительно
легко.
Применение теории
игр в экономике
Теория игр, как один из подходов
в прикладной математике, используется
для исследования поведения человека
и животных в разных обстановках. Изначально
теория игр начала совершенствоваться
в рамках экономической науки, позволив
осознать и разъяснить действия экономических
агентов в разных моментах. Позже сфера
использования теории игр была распространена
и на прочие социальные науки. На данный
момент, теория игр применяется с целью
разъяснения действий людей в политологии,
социологии и психологии. Теоретико-игровой
анализ был в первый раз применен с целью
отображения действий животных Рональдом
Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз
Дарвин использовал идеи теории игр без
формального обоснования). Исследования
и их результаты, которые были сделаны
в экономике, применены Джоном Майнардом
Смитом в книге “Эволюция и теория игр”.
Теория игр применяется не только для
предсказания и объяснения поведения;
были предприняты попытки использовать
теорию игр для разработки теорий этичного
или эталонного поведения. Экономисты
и философы применяли теорию игр для лучшего
понимания хорошего поведения.
Решение многих экономических
проблем сводится к определению наилучшего
положения, подчиненного только некоторым
ограничениям, вытекающим из условий самой
проблемы. К примеру, каждый потребитель
максимизирует полезность при условии
сбалансированности своего бюджета. Цель
нередко может быть проявлена альтернативно,
как достижение наибольшего или наименьшего
в каком-то значении; вместе с тем компания
способна, к примеру, максимизировать
производство продукта при данных издержках
либо уменьшить расходы при данном выпуске.
Сущность процесса в том, чтобы решение
было просто и приносило бы максимум или
минимум. Данную ситуацию мы можем наблюдать
на конкурентном рынке, где огромное количество
потребителей и огромное количество продавцов;
каждый из которых по максимуму пытается
достичь своей прибыли, и на его действия
не оказывают влияния действия иных лиц.
Задачи при наличии монополии или монопсонии,
то есть при ситуации с единственным продавцом
и большим числом покупателей и обратной,
равным образом сводятся к задачам на
максимум.
Но в иных экономических моментах
встречаются абсолютно другие трудности.
В работах Неймана и Моргенштерна к ним
был проявлен особый интерес. Подобные
ситуации появляются там, где существует
конфликт интересов, который должен быть
решен. Самыми распространенными из них
являются двусторонняя монополия (монополия
— монопсония), в которой присутствует
всего один потребитель и один поставщик,
и дуополия или олигополия, в которой присутствует
два или более поставщиков, торгующих
с большим количество потребителей. Наиболее
непростые ситуации похожего рода появляются,
в случае если возникают объединения и
коалиции лиц, которые участвуют в конфликте
интересов. К примеру, в случае, если ставки
заработной платы обуславливаются альянсами
или объединениями работников и бизнесменами.
Разрешение такого рода трудностей
не является просто решением той или иной
проблемы на максимум или минимум. Оно
подымает наиболее непростые вопросы
о стратегиях, которых следует придерживаться
участникам, и соответствующая математическая
формулировка зачастую бывает минимаксного
типа. Таким образом, если на рынке существует
всего два продавца А и В, то А должен формировать
собственные действия, опираясь на действия
второго продавца В, и наоборот. При рассмотрении
любой линии поведения или стратегии продавец
А может попытаться определить наихудшие
для него действия продавца В; А тогда
выбирает наилучшую стратегию, принимая
во внимание наихудший для него ответ
со стороны В. В свою очередь, Б, принимая
свои решения, также учитывает, что может
сделать А. В итоге, действия каждого участника
основываются на принципе минимакса, и
в их решения входят как элементы максимизации,
так и минимизации. Вопрос заключается
в том, существует ли какой-либо исход,
совместимый с действиями участников,
то есть согласуется ли минимаксное положение
для А с минимаксным положением для В.
Теория игр изучает похожие
математические задачи. В случае, если
в игре принимают участие два игрока,
то любой из них обладает несколькими
доступными ему, в соответствии с правилами
игры, стратегиями и стремится максимизировать
собственный выигрыш в следствие множества
партий либо собственное ожидание выигрыша
в одной партии. Обладает ли игра тем или
иным наилучшим либо надежным результатом,
зависит от того, сходится ли минимаксное
положение, к какому стремится один из
игроков, с подобным положением для другого
игрока.
Следовательно, теория игр имеет
отношение к рассмотрению экономических
проблем. Хоть и теорию можно формулировать
исключительно в математических терминах,
как показала практика, конкретная категория
экономических проблем, включающая взаимосвязь
промышленных взаимоотношений, может
быть удовлетворительно изложена с помощью
аппарата математической теории игр. К
ним относятся отношения затрат и выпуска.
Наиболее обширные экономические проблемы,
популярные как линейное программирование
или анализ видов деятельности, представляют
одну из главных областей экономического
применения теории игр. Интересно отметить,
то что к данному классу принадлежит целый
ряд технических и экономических вопросов,
которые встречаются статистику, когда
ему при принятии решения приходится соизмерять
точность выводов с производимыми затратами,
или когда он пытается минимизировать
максимальный риск, к которому приводит
то или иное решение. Подобно экономисту,
статистик может достичь цели путем элементарных
рассуждений, но, встречаясь с более сложными
проблемами, он будет вынужден воспользоваться
математической теорией игр. Развитие
линейного программирования (анализа
видов деятельности) экономистами и теории
статистических решений — статистиками
происходило одновременно, но почти независимо,
с помощью однотипного математического
аппарата.
Пример (задача)
Предприятие может выпускать
два вида продукции, используя один набор
компонентов, причем количество выпускаемой
продукции определяется целыми числами.
Прибыль, получаемая предприятием от продажи
единицы продукции каждого вида, расход
каждого из компонентов на производство
единицы продукции каждого вида и лимиты
по каждому из компонентов представлены
в Таблице 1.
Необходимо определить количество
продукции каждого вида, которое необходимо
выпустить для получения максимальной
прибыли при условии не перерасходования
лимитов по компонентам.
Таблица 1
Математическая формулировка
задачи:
F= 5x+4x→max
3x +3x ≤29
5x +8x ≤22
3x +9x ≤31
9x +8x ≤23
х, х - выпускаемое количество
продукции.
Вывод
В последнее время применение
теории игр значительно увеличилось в
большинстве областях экономических и
социальных наук. В экономике данная теория
применяется не только для решения общехозяйственных
задач, но и для анализа стратегических
проблем предприятий, разработок организационных
структур и систем стимулирования.