Моделирование как метод разработки управленческого решения

Таким образом, решение принимается в условиях неопределённости и связано с риском непроизводительных затрат в рассматриваемом пятнадцатилетнем горизонте планирования.

 

2.3 Формализация задачи методами теории игр

 

Расчёты затрат и экономического эффекта (млн. руб.) в зависимости от продолжительности разработки, внедрения и использования новой продукции до конца 15-летнего планового периода удобно представить в виде таблицы возможных ситуаций.

 

Таблица ситуаций

Решение планового органа	Продолжительность разработки, лет	Затраты на НИОКР и внедрение	Эффект от использования новой продукции	Затраты на модернизацию продукции	Эффект от использования модернизированной продукции	Суммарный эффект
Прово- дить НИОКР	5	-6	60	-6	14	62
	10	-12	30	-3	7	22
	15	-18	0	0	0	-18
Не про- водить НИОКР	5	0	0	-9	21	12
	10	0	0	-9	21	12
	15	0	0	-9	21	12

 

Перейдём от неё к «платёжной» матрице игры, которую будем называть матрицей эффектов.

 

 

Матрица эффектов

Решение планово-го органа	Состояние природы
	В1	В2	В3
А1	62	22	-18
А2	12	12	12

 

Где А={А1,А2} - множество решений планирующего органа;

А1 - соответствует решению о проведении НИОКР;

А2 - соответствует решению об отказе от НИОКР;

В={В1,В2,В3} - множество состояний «природы», олицетворяющее неопределенность ситуации,

В1 - проведение НИОКР потребует 5 лет;

В2 - проведение НИОКР потребует 10 лет;

В3 - проведение НИОКР потребует 15 лет.

Рассматриваемая задача решается методами математической теории игр с использованием «платёжной» матрицы (матрицы эффектов либо матрицы потерь) и выбранных критериев принятия решения поэтапно:

• в условиях полной неопределённости;
• в условиях частичной определённости;
• в условиях эксперимента, предшествующего принятию решения;
• с применением аппарата решающих функций и использованием функции риска.

 

2.4 Решение задачи

 

Критерии принятия решений в условиях полной неопределённости.

 

 

Критерий Уолда

Решение планового органа	Минимум выигрыша
А1	-18
А2	12*

 

EY = maxi minj eij

 

Максимаксный критерий

Решение планового органа	Максимум выигрыша
А1	62*
А2	12

 

EM = maxi maxj eij

 

Критерий Гурвича

Решение планового органа	Степень оптимизма a
	0	0,2	0,3	0,4	0,6	0,8	1	0
А1	-18	-2	6	14	30	46	62	-18
А2	12	12	12	12	12	12	12	12

 

Критерий Сэвиджа

Решение планового органа	Состояние природы			Максимум сожаления
	В1	В2	В3
А1	0	0	30	30
А2	50	10	0	50

 

EC = mini maxj (maxi eij - eij)

 

 

Критерий Лапласа

Решение планового органа	Равновероятный выигрыш
А1	22*
А2	12

 

n

EЛ = maxi S ( eij / n)

j=1

 

Критерий принятия решений в условиях частичной определённости.

Условия частичной определенности предполагают, что распределение вероятностей состояний «природы» p(bj) известно и статистически устойчиво. В соответствии с исходными данными это распределение имеет вид:

 

p(b1) =0,25 p(b2) =0,50 p(b3) =0,25

 

Критерий Байеса-Лапласа

Решение планового органа	Математическое ожидание выигрыша
А1	22*
А2	12

 

 

Принятие решений в статистических играх с экспериментом.

Принятию решения предшествует эксперимент. Допустим, что результаты эксперимента образуют множество X = {x1, x2, x3}, где исход эксперимента x1 означает, что проведение данной НИОКР потребует 5 лет, x2 - соответственно 10 лет и x3 - 15 лет. Как правило, такие результаты эксперимента носят не достоверный, а вероятностный характер. Это приводит к необходимости использования условных вероятностей p(xi/bj), которые показывают вероятность прихода к выводу xi, если на самом деле имеет место состояние «природы» bj.

В соответствии с исходными данными условные вероятности p(xi/bj) исходов эксперимента:

 

p(x1/b1) = 0,25 p(x1/b2) =0,80 p(x1/b3) =0,20

p(x2/b1) = 0,15 (x2/b2) =0,10 p(x2/b3) =0,70

p(x3/b1) =0,65 p(x3/b2) =0,25 p(x3/b3) =0,15

 

Находим полные вероятности исходов эксперимента:

 

 

p(x1) = p(x1/b1)p(b1) + p(x1/b2)p(b2) + p(x1/b3)p(b3)

p(x2) = p(x2/b1)p(b1) + p(x2/b2)p(b2) + p(x2/b3)p(b3)

p(x3) = p(x3/b1)p(b1) + p(x3/b2)p(b2) + p(x3/b3)p(b3)

 

p(x1) = 0,25Ч0,25+0,80∙0,50+0,20∙0,25=0,5125

p(x2) = 0,15Ч0,25+0,10∙0,50+0,70∙0,25=0,2625

p(x3) =0,65Ч0,25+0,25∙0,50+0,15∙0,25=0,325

 

Находим апостериорные вероятности состояния природы после того или иного исхода эксперимента (по формуле Байеса):

 

p(bj / xi) = p(xi / bj) p(bj) / p(xi)

 

p(b1/x1) = p(x1/b1)p(b1)/p(x1) =0,25∙0,25/0,5125≈0,1220

p(b2/x1) = p(x1/b2)p(b2)/p(x1) = 0,80∙0,50/0,5125≈0,7805

p(b3/x1) = p(x1/b3)p(b3)/p(x1) =0,20∙0,25/0,5125≈0,0976

p(b1/x2) = p(x2/b1)p(b1)/p(x2) =0,15∙0,25/0,2625≈0,1429

p(b2/x2) = p(x2/b2)p(b2)/p(x2) = 0,10∙0,50/0,2625≈0,1905

p(b3/x2) = p(x2/b3)p(b3)/p(x2) =0,70∙0,25/0,2625≈0,6667

p(b1/x3) = p(x3/b1)p(b1)/p(x3) = 0,65∙0,25/0,325=0,5

p(b2/x3) = p(x3/b2)p(b2)/p(x3) = 0,25∙0,50/0,325≈0,3846

p(b3/x3) = p(x3/b3)p(b3)/p(x3) =0,15∙0,25/0,325≈0,1154

 

Таким образом:

p(b1/x1) = 0,1220 p(b2/x1) = 0,7805 p(b3/x1) = 0,0976

p(b1/x2) = 0,1429 p(b2/x2) = 0,1905 p(b3/x2) = 0,6667

p(b1/x3) = 0,5 p(b2/x3) = 0,3846 p(b3/x3) = 0,1154

 

Находим по критерию Байеса-Лапласа (с учётом уже апостериорных вероятностей состояний «природы» p(bj / xi) ) ожидаемые выигрыши для каждого исхода эксперимента:

 

 

62∙0,1220+22∙0,7805+(-18)∙0,0976=22,97561* Ю А1

 

EБ (x1) = max

 

12∙0,1220+12∙0,7805+12∙0,0976=12

62∙0,1429+22∙0,1905+(-18)∙0,6667=1,047619

EБ (x2) = max

12∙0,1429+12∙0,1905+12∙0,6667≈12*Ю А1

62∙0,5+22∙0,3846+(-18)∙0,1154=39,6*Ю А2

EБ (x3) = max

 

12∙0,5+12∙0,3846+12∙0,1154=12

Средний выигрыш при неизвестном заранее исходе эксперимента равен:

 

 

= » 22,97561∙0,5125+12∙0,2625+39,6∙0,3125=27,3

При этом =27,3 > Е = 22 , то есть средний выигрыш с экспериментом больше, чем выигрыш без эксперимента.

Принятие решений в статистических играх в условиях риска.

В задаче без эксперимента решение (А1 или А2) принимается с использованием априорной информации о состояниях «природы». В задаче с экспериментом плановый орган принимает решение в зависимости от исхода эксперимента (Х1, Х2, Х3). Чтобы формализовать эту задачу, можно заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента и составить правило d, определяющее, какое решение следует принять при каждом из возможных исходов эксперимента. Это правило называется решающей функцией.

В рассматриваемом случае (для трёх возможных исходов эксперимента) решающую функцию можно записать в виде

 

dkls = d (x1, x2, x3) = (Ak, Al, As) ,

 

где Ak, Al, As - решения, которые следует принять при исходах эксперимента x1, x2, x3 соответственно. Так, решающая функция d112 означает, что соответствие исходов и решений имеет вид

{ x1 ® A1 , x2 ® A1 , x3 ® A2 }, то есть при оценке срока НИОКР в 5 или 10 лет принимается решение о разработке новой продукции A1 , а в 15 лет - решение об отказе от разработки новой продукции A2 .

Множество решающих функций состоит из N = mq элементов, где m - число возможных решений; q - число возможных исходов эксперимента.

В нашем случае m = 2; q = 3; N = mq = 23 = 8 (см. таблицу).

 

Множество решающих функций

Результаты эксперимента	d111	d112	d121	d122	d211	d212	d221	d222
X1	A1	A1	A1	A1	A2	A2	A2	A2
X2	A1	A1	A2	A2	A1	A1	A2	A2
X3	A1	A2	A1	A2	A1	A2	A1	A2

 

Из всего множества решающих функций необходимо выбрать такую, которая позволит принимать наиболее выгодные решения. Но для этого надо уметь оценивать сами решающие функции, что может быть сделано при помощи функции риска.

Функцией риска r(bj, dkls) называются средние потери, которые несёт плановый орган при данном состоянии природы и выбранной решающей функции. Число значений функции риска равно NЧn, где n - число состояний природы. В нашем случае N = 8, n = 3, тогда 8Ч3 = 24.

Усреднение потерь ведётся по вероятностям исходов эксперимента при данном состоянии природы. В нашем случае:

 

r(bj, dkls) = П(bj, Ak)Чp(x1/bj) + П(bj, Al)Чp(x2/bj) + П(bj, As)Чp(x3/bj)

или r(bj, dkls) = ПjkЧp(x1/bj) + ПjlЧp(x2/bj) + ПjsЧp(x3/bj) ,

 

где Пjk , Пjl , Пjs - элементы матрицы потерь которые получаются из матрицы эффектов путём умножения её элементов на (-1). Отрицательные элементы Пji матрицы потерь означают получение экономического эффекта.

Матрица потерь

Состояние природы	Решение планового органа
	А1	А2
B1	-62	-12
B2	-22	-12
B3	18	-12

 

Значения функции риска

Состояние природы	d111	d112	d121	d122	d211	D212	d221	d222
В1	-65,1	-32,6	-57,6	-25,1	-52,6	-20,1	-45,1	-12,6
В2	-25,3	-22,8	-24,3	-21,8	-17,3	-14,8	-16,3	-13,8
В3	18	15	-3	-6	12	9	-9	-12

 

Расчёт значений функции риска

 

r(b1,d111) = -62∙0.25-62∙0.15-62∙0.65=-65.1

r(b1,d112) = -62∙0.25-62∙0.15-12∙0.65=-32.6

r(b1,d121) = -62∙0.25-12∙0.15-62∙0.65=-57.6

r(b1,d122) = -62∙0.25-12∙0.15-12∙0.65=-25.1

r(b1,d211) = -12∙0.25-62∙0.15-62∙0.65=-52.6

r(b1,d212) = -12∙0.25-62∙0.15-12∙0.65=-20.1

r(b1,d221) = -12∙0.25-12∙0.15-62∙0.65=-45.1

r(b1,d222) = -12∙0.25-12∙0.15-12∙0.65=-12.6

r(b2,d111) =-22∙0.80-22∙0.10-22∙0.25=-25.3

r(b2,d112) =-22∙0.80-22∙0.10-12∙0.25=-22.8

r(b2,d121) =-22∙0.80-12∙0.10-22∙0.25=-24.3

r(b2,d122) =-22∙0.80-12∙0.10-12∙0.25=-21.8

r(b2,d211) =-12∙0.80-22∙0.10-22∙0.25=-17.3

r(b2,d212) =-12∙0.80-22∙0.10-12∙0.25=-14.8

r(b2,d221) =-12∙0.80-12∙0.10-22∙0.25=-16.3

r(b2,d222) =-12∙0.80-12∙0.10-12∙0.25=-13.8

r(b3,d111) = 18∙0.20+18∙0.70+18∙0.15≈18

r(b3,d112) = 18∙0.20+18∙0.70-12∙0.15≈15

r(b3,d121) = 18∙0.20-12∙0.70+18∙0.15≈-3

r(b3,d122) = 18∙0.20-12∙0.70-12∙0.15≈-6

r(b3,d211) =-12∙0.20+18∙0.70+18∙0.15≈12

r(b3,d212) =-12∙0.20+18∙0.70-12∙0.15≈9

r(b3,d221) =-12∙0.20-12∙0.70+18∙0.15≈-9

r(b3,d222) =.-12∙0.20-12∙0.70-12∙0.15≈-12

 

Наилучшей решающей функцией будет та, которая обеспечивает минимум так называемому байесовскому риску, рассчитываемому по формуле:

 

r(dkls) = r(b1, dkls)Чp(b1) + r(b2, dkls)Чp(b2) + r(b3, dkls)Чp(b3).

 

Определим байесовские риски для каждой из решающих функций: