Модель Леонтьева на примере

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ Высшего профессионального образования

Северо – Восточного Федерального Университета им. М. К. Аммосова

Институт математики и информатики

 

 

 

 

 

 

Реферат

на тему «Модель Леонтьева на примере»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы ПИ-11-2

Николаева Ольга Руфовна

Проверил: Местников Семен Владимирович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Якутск, 2014 г.

 

Содержание:

 

Введение 

Межотраслевой баланс (метод «затраты – выпуск») – экономико – математическая балансовая модель, характеризирующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна для всех стран. Важным инструментом прогнозирования является разработанным В. Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать адекватные меры.

Действительно, реальное равновесие на рынке  возможно лишь при совпадении ожиданий производителей и потребителей, так как на практике равновесие достигается достаточно редко, поскольку в реальной жизни неизбежны экономические кризисы, неполное или неэффективное использование ресурсов. И даже, несмотря на это можно утверждать, что необходимость в балансовом методе очевидна.

Цель  работы – изучение модели Леонтьева «затраты-издержки» и применение модели на практике. Для этого выделим следующие задачи: 
рассмотреть применение модели Леонтьева в программе Mathcade.

 

Глава 1. Научная деятельность Леонтьева 

Прежде чем перейти непосредственно к анализу метода «затраты-выпуск», получившего в отечественной науке название межотраслевой баланс, хотелось бы проследить жизненный путь человека, с чьим именем он связан.

Возникновение и развитие метода «затраты-выпуск» в его современном варианте неразрывно связано с именем В. Леонтьева. Леонтьев, по всеобщему признанию, один из самых выдающихся ученых-экономистов 20-го столетия. Международная “Энциклопедия общественных наук” сравнивает его вклад с той ролью, какую в теории экономики сыграли Адам Смит и Джон Мейнард Кейнс, а этих гигантов можно, пожалуй, назвать соответственно Ньютоном и Эйнштейном этой науки.

Леонтьев родился в Петербурге, где посещал университет; затем он уехал в Берлин для завершения работы над диссертацией. В США он прибыл в 1931 г. в качестве сот рудника Национального бюро экономических исследований, где он продолжил работу над анализом по схеме затраты – выпуск. В 1931 г. он поступил на работу в Гарвардский университет, профессором которого он являлся с 1946 г. Когда Бюро статистики труда Министерства труда США в связи с потребностями, обусловленными войной, приступило к построению большой таблицы затраты - выпуск, Леонтьев участвовал в этой работе в качестве специального консультанта.

В. Леонтьев обращается в ЦИК СССР с просьбой о выходе из советского гражданства. Его просьба была удовлетворена, и спустя некоторое время В. Леонтьев стал гражданином США. Жизнь показала, что он сохранил доброе отношение к Родине, доказав это своими поступками.

В Гарвардском университете В. Леонтьев делает заявку на исследование с целью построения таблицы «затраты-выпуск» для США. Комитет, распределяющий финансы, полагает это утопической затеей, но все же выделяет небольшую сумму для одного технического сотрудника. В. Леонтьев приступает к реализации своего главного научного замысла. Он проводит огромную работу по сбору данных о затратах на производство, потоках товаров, распределении доходов, структуре потребления и инвестиций и т.д., используя различные статистические переписи, запрашивая правительственные службы, частные фирмы, банки. Результатом этой работы стала 44-отраслевая таблица «затраты-выпуск» США за 1919 г. На ее основе В. Леонтьев впервые в мире проводит расчеты по системе уравнений межотраслевых связей, определяет полные народнохозяйственные затраты.

Имевшиеся тогда вычислительные устройства позволяли решать системы, содержащие не более 10 линейных уравнений; поэтому В. Леонтьеву пришлось агрегировать исходную 44-отраслевую таблицу в матрицу 10 х 10. 

Принцип В. Леонтьева - публиковать только работы с полным количественным анализом. Поэтому первую статью о методе «затраты-выпуск» он издал только в 1936 г. («Количественные соотношения «затраты-выпуск» в экономической системе Соединенных Штатов»); главной частью статьи был анализ балансовой таблицы за 1919 г. Далее темп исследований и их обобщений заметно ускорился. Вместе с группой сотрудников В. Леонтьев завершил работу над балансом США за 1929 г. и в 1941 г. выпустил книгу «Структура американской экономики, 1919 — 1929», признанную впоследствии классической.

В 1948 г. В. Леонтьев основал Гарвардскую лабораторию экономических исследований, которая стала научным центром по дальнейшей разработке и практическому применению метода «затраты - выпуск». Лаборатория получала крупные субсидии из частных фондов и от государственных организаций. Для работы были привлечены одаренные и энергичные ученые, впоследствии значительно продвинувшие теорию и методологию межотраслевого анализа. В. Леонтьев оставался директором лаборатории вплоть до ее закрытия в 1973 г.

В 1951 г. выходит вторая монография В. Леонтьева «Структура американской экономики. 1919 — 1939», в 1953 г. — книга «Исследования структуры американской экономики», подготовленная им вместе с группой сотрудников Гарвардской лаборатории. Обе работы были переведены на несколько языков; метод В. Леонтьева завоевал международное признание.

Таким образом, в 60—70-х годах метод «затраты—выпуск» и анализ межотраслевых балансов получили всеобщее признание в мировой экономической науке и стали обычными в статистической практике. Когда с 1969 г. началось присуждение Нобелевских премий по экономике, Леонтьев закономерно оказался одним из первых кандидатов. Он стал лауреатом в 1973 г. с такой формулировкой научных заслуг: “за развитие метода затраты—выпуск и за его применение к важным экономическим проблемам”.

Леонтьев неоднократно бывал в России и поддерживал тесные творческие отношения с Центральным экономико-математическим институтом (Москва), Государственным Московским университетом, имел творческие встречи в Госплане, ЦСУ, Центральном банке СССР. 
    СССР и Россия постоянно находились в сфере его интересов и внимания, что он поддерживал тесные контакты с российскими учеными и по мере сил помогал им.   Леонтьеву было приятно знать, насколько его ценят и уважают в России.

Теперь же перейдём непосредственно к анализу содержания модели Леонтьева. 

 

Глава 2.   Содержание модели межотраслевого баланса

Классическая модель Леонтьева имеет следующие особенности:

• рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;
• взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);
• вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;
• вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;
• равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Цель построения модели Леонтьева - анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей  в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов  по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица – таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное . Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

= / , (i, j = 1, 2,...,n)                 (1)

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.     

С учётом формулы  (1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:

= (x1 + x2 + ... + xn) + ,

(i = 1, 2,...,n)

,или 

 = ?aijXj+Yi     (2)

если  ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат A, вектор-столбец  валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

 

 
|| x1 ||                 || a11 a12 ... a1n  ||              || y1 || 
|| x2 ||                 || a21 a22 ... a2n  ||              || y2 || 
X =    || ...  ||,      A =  || ... ... ...           ...  || ,    Y =  || ... || , 
|| xn ||                 || a1n a2n ... ann  ||              || yn ||  
 

то система уравнений (2) в матричной форме примет вид:  
 
X=AX+Y        (3)  
 
данное  уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”. 
   С помощью этой модели можно выполнять  три варианта расчетов: 

задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X,   (4) 
     (при  этом  E обозначает единичную матрицу n-го порядка).  
 

задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)  Y,  (5) 
     (при  этом  (E-A)-1  обозначает матрицу, обратную (E-A)).  

для ряда отраслей задав величины валовой  продукции, а для всех остальных  отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции  первых отраслей и объёмы валовой  продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (3), а системой линейных уравнений (2). 

 
      Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 
Переписав  матричное уравнение в виде: 
(E - A) X = Y, 
можно сделать  следующие выводы: 
          Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю),  тогда имеем: 
X = (E - A) -1 Y               (6) 
    Обозначим обратную матрицу В =   (E - A)-1 
          Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (5) теперь запишется как: 
X=BY  (7) 
          Элементы матрицы  В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение: 
Xi =?biYj, I=1…n 

В отличие от коэффициентов  прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. 
          Чтобы выяснить экономический  смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:  
 
       || 1 ||          || 0 ||               || 0 || 
       || 0 ||            || 1 ||              || 0 || 
Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,  Yn =  ||... || . 
       || 0 ||           || 0 ||               || 1 ||  
 
Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:  
 
         ||s11||                ||s12||                                  ||s1n|| 
          ||s21||                ||s22||                                  ||sn2|| 
Y1 = ||..  .||,        Y2 =||...  ||,       ,                Yn = ||...  ||. 
        ||sn1||                ||sn2||                                ||snn||  

Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. 
          В соответствии с  экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить, продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если для  любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.