Экономический смысл и приложение определенного интеграла в экономике

 

Содержание

Введение...............................................................................................................4 стр.

1. Понятие интеграла...........................................................................................5 стр.

2. Экономический смысл и приложение определенного интеграла в экономике.............................................................................................................7 стр.

3. Теоретические основы исследования экономической динамики................8 стр.

4. Методы исследования экономической динамики.........................................9 стр.

Заключение.........................................................................................................12 стр.

Список использованной литературы................................................................13 стр. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение       

Современный экономист должен хорошо владеть  количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, исследование операций, теория игр, эконометрика и др.). Именно этим и обосновывается актуальность темы моего исследования.      

Математика  является не только орудием количественного  расчета, но также методом точного  исследования. Она служит средством  предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Вспомним высказывание Делоне Бориса Николаевича - советского математика: « Ведь есть очень сложные науки - науки о природе, об обществе... Очень сложные. А математика - наука очень простая, она изучает самые простые вещи... ». Интересно заметить, что один из известных экономистов А. Пигу говорил, что «Экономическая наука почти всегда вынуждена говорить невнятно».       

Целью моей работы явилось выяснение того, какие новые возможности для экономических исследований открывает определенный интеграл и каков его экономический смысл.       

  

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие интеграла 

 

 

      Поскольку предмет нашего исследования – определенный интеграл в экономике, выясним, в чем суть этого понятия, какие проблемы приводят к использованию интеграла.      

Рассмотрим  непрерывную функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и

может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при a? x ?b.                 .      

Кривая  у = f(x) и прямые х = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до b, или криволинейной трапецией.      

Если  требуется вычислить площадь S криволинейной  трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области. Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников. Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, b]; он имеет высоту f(x) и бесконечно малую ширину.  

Напомним, Лейбниц писал S = ? f(x) dx. Символ ? означал у него  сумму. Этот символ происходит  от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернулли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ? именовать интегралом от латинского слова integralis (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:       

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий  характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.       

Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x0, x1 ..., xn:

На каждом отрезке разбиения выберем точку  cj и положим. Тогда произведение f (cj) ?xj равно площади прямоугольника Sj со сторонами f (cj) и ?xj. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида . Эта сумма  представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции [1, стр. 317]. Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S.       

 Введем теперь точное определение. Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x) (теперь уже необязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x0, x1 ..., xn:

На каждом отрезке разбиения [x j -1, xj] выберем точку c j и положим ее.      

Сумму вида назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, b] точками x0, x1 ..., xn, так и от выбора точек со, c1, ..., сn на каждом из промежутков разбиения [x j -1, xj], j = 1, 2, … , n.        

 Обозначим через max ?xj максимальную из длин отрезков [x j -1, xj], где j =1, 2, ... , n.      

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении max ? xj к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1, x2, ... и c1, c2, … . Тогда этот предел называется определеным интегралом от функции у = f(x) на [а, b] и обозначается, а сама функция  у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], т. е.

При этом число а- называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b][2, стр.475].      

Несмотря  на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы  существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.      

Из  определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е. верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а.  

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = b; интеграл с равными пределами считается равным нулю. Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и b.       

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, b], то она не ограничена на некотором отрезке [x j -1, xj]. За счет выбора точки cj интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Sn существует и конечен[5, стр173]. 

 

 

 2. Экономический смысл интеграла в экономике 

 

 

      Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.      

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю[4, стр.209].

 

3.Теоретические основы исследования экономической динамики 

 

 

 Переход к рыночной экономике, начавшийся примерно четверть века назад поставил нашу страну, жившей при стабильном планировании, перед множеством экономических проблем, которые, казалось бы, могли стабилизировать экономические процессы. Каждый, будь то индивид или промышленное предприятие национального масштаба, хотел бы точно видеть горизонт перспектив. При сложившемся плановом хозяйстве все точно знали о возможных перспективах, что сейчас вызывает ностальгию о том периоде. Но стабилизация экономики является важной для исследований ученых как прошлого, так и настоящего, как стран со сформированной рыночной  
экономикой, так и стран, находящихся на различных стадиях становления рыночной экономики. Различные, взаимонезависимые друг от друга экономические явления и процессы, присущие современной экономике постоянно находятся в движении и оказывают как положительное, так и отрицательное влияние на экономику в целом.  
 Мировой опыт развития экономики показал, что идеальный рост основных макроэкономических показателей не устойчив, таким образом, экономический рост невозможно достичь автоматически. То есть, экономические явления имеют особенность к периодическим (регулярным) повторениям.  
 На протяжении истории изучения экономической цикличности учеными было предложено несколько толкований, определений этого понятия. Хотелось бы выделить основные трактовки, наиболее часто встречающиеся в источниках экономического направления:  
1. Экономический цикл - периодически повторяющиеся на протяжении ряда лет подъемы и спады в экономике. Экономический цикл состоит из нескольких фаз: подъем, кризис депрессия, оживление. Различают длинные циклы, повторяющиеся через 20-25 лет и короткие циклы повторяющиеся через 5-10 лет[3,стр.768] . 
2. Экономический цикл (Economic cycle) - это последовательность повторяющихся альтернативных фаз, каждая из которых создает условия для наступления последующей, что приводит к воспроизводству цикла[6].  
3. Цикличность развития - в общих и специальных теориях -процесс волнового развития природных и общественных систем и явлений, характеризующийся периодами зарождения, становления, развития, кризиса, спада, крушения или обновления 
 Можно отметить, что прослеживается одна основная идея экономической цикличности во всех определениях: это волнообразность и периодичность экономического развития.  
 Динамику деловой активности обусловливает экономический рост, известный как возрастающий тренд (тенденция), а цикл деловой активности представляет собой колебания вокруг тренда. Т.е., цикл можно определить как чередование положений активного равновесия, определяемых подъемом или спадом деловой активности системы.  
 В настоящее время исследование экономической динамики лежит в основе всех экономических процессов. Хотелось бы выделить Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследование экономической динамики, так как это доказывает актуальность изучения цикличности экономики [7]. 

 

4. Методы исследования экономической динамики 

 
 Циклы имеют разную продолжительность, трудно рассчитывать, что они будут в дальнейшем повторяться в точности так же, как это имеет место в случае сезонных колебаний. Циклическая компонента макроэкономической конъюнктуры не связана с правильно чередующимися периодами, не имеет предсказуемых сезонных особенностей.  
 Слово «метод» (от греческого methodos - «путь к какой-либо цели») означает способ, порядок, основания; принятый путь для хода, достижения чего-либо, в виде общих правил. Каждой науке свойственен свой метод, особенности которого неразрывно связаны с ее предметом. Метод призван обеспечить глубокое постижение предмета. Метод рождается и совершенствуется в ходе получения новых знаний.  
Важнейшими из методов экономической теории являются: анализ, синтез, индукция, дедукция, аналогия.  
 Анализ - это такой метод познания, который предполагает разделение целого на отдельные составные части и изучение каждой из этих частей. В экономике анализ применяется с целью выявления сущности, закономерностей, тенденций экономических и социальных процессов, хозяйственной деятельности на всех уровнях (в стране, отрасли, регионе, на предприятии, в частном бизнесе, семье) и в разных сферах экономики (производственная, социальная). Анализ служит исходной отправной точкой прогнозирования, планирования, управления экономическими объектами и протекающими в них процессами. Экономический анализ призван обосновывать с научных позиций решения и действия в области экономики, социально-экономическую политику, способствовать выбору лучших вариантов действий. 

Динамика экономических процессов, протекающих в течение длительных промежутков времени, является нелинейной. В исследованиях по нелинейной экономической динамике накоплен богатый опыт моделирования экономических процессов на основе использования динамических систем.  Анализ моделей, описывающих нелинейные экономические процессы, как правило, весьма сложен и опирается на фундаментальные результаты и аналитические методы экономикоматематических и математических исследований. Поэтому разработка конструктивных методов и алгоритмов анализа моделей нелинейных экономических систем и их теоретического обоснования так же весьма актуальна. Для разработки новых методов прогнозирования необходимо выявить причины, по которым это надо делать.  Основные методы, использовавшиеся ранее, при планировании и прогнозировании, можно разделить на: балансовые, исследовательские, эконометрические методы. Их общим свойством можно назвать линейность, которая является как недостатком, так и достоинством этих методов.  
 Линейная зависимость сильно упрощает действительность. В частности, не берется во внимание экономия удельных затрат благодаря увеличению масштабов производства. Линейный характер связей принимается как постулат, который можно было принять в условиях  
плановой экономики, которая характеризовалась стационарным режимом преимущественно экстенсивного роста.