Экономический рост и модель межотраслевого баланса

Будем снабжать штрихом (х’ik , y’i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

 

       у = (у1 , у2 , … , yn) ,    (2)

 

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

       x = (x1 , x2 , … , xn).      (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

                xik

       aik = –––  (i , k = 1 , 2 , … , n).

                 xk

 

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

       x’ik       xik  

      –––  = ––– = aik = const     (4)     

        x’k        xk

Исходя из этого предложения имеем

       xik = aikxk ,         (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

                       a11 a12 … a1k … a1n

                       a21 a22 … a2k … a2n

             A=     ………………….

                       ai1 ai2 … aik … ain

                       an1 an2 … ank … ann

 

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель :

       x1 - (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn) = y1

       x2 - (a21x1 + a22x2 + … + a2nxn) = y2                      (6)

       ……………………………………

       xn - (an1x1 + an2x2 + … + annxn) = yn   ,     

 

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

          _        _    _

       Е·х - А·х = У , или окончательно

                     _     _

       (Е - А)·х = У ,            (6')

 

где Е – единичная матрица n-го порядка и

 

                     1-a11   -a12 …  -a1n

      E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n

                       …………………

                       -an1    -an2 … 1-ann   (7)

     

Уравнения (6) содержат 2n переменных (xi и  yi). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y1 , y2 , … , yn) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1 , х2 , … хn).

Из равенства вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х2=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4­100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а11=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.2­40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у1=0  и   у2=1   (см п.2):

 

       0.8х1 - 0.4х2 = 0    (8)

       -0.55х1 + 0.9х2 = 1

 

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а12), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (aik), так и косвенные (Sik - aik) затраты.

Очевидно, что всегда Sik > aik.

Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы (8):

 

       x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk  (9)

 

что можно записать короче в виде:

       _    _

       x = Sk·yk            (10)       

 

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  xk,  необходимый  для    его обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

                                                             _  _

       xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y ,              (11)

 

а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам (7) – (11) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2, …, Dхn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = (Dу1, Dу2, …, Dуn) по формуле:

         _          _

       Dх = S·DУ ,         (12)

 

Включим  в наш анализ, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты  aik,   

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k и                                                                                                                        xk

                                               xn+2,k

капиталовложений  an+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего 

                                                  xk  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                          a11     a12     …     a1k     …     a1n

                          a21     a22     …     a2k     …     a2n

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

                                                                             _    _

       Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

 

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

                    _    _

       Sn+1,k = an+1Sk            (13)

 

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

                    _    _

       Sn+2,k = an+2Sk            (14)

 

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,

 

       xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn ,         (16)

       xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

 

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

 

                   0.2    0.4

       А' =     0.55  0.1

                   0.5    0.2

                   1.5    2.0

 

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований экономического роста. Здесь проиллюстрировано только направление приложения математических расчетов в экономических исследованиях.  

 

Заключение 

 

Современная теория социально-экономической динамики и генетики позволяет сформулировать несколько положений, имеющих принципиальное значение для анализа положения и перспектив экономического роста в Украине.

 Экономический рост — феномен  намного более сложный, чем спад  или депрессия. Он имеет свою  структуру, факторы, источники, последствия. Нет роста вообще. Реально существуют его конкретные виды, выделение которых возможно по разным классификационным признакам. Например, по темпам увеличения главных экономических показателей (ВВП, ВВП на душу населения, эффективность производства и т. д.) различают медленный, бурный и устойчивый экономический рост; по степени использования экономических ресурсов — экстенсивный и интенсивный рост; по характеру взаимодействия национальной и мировой экономики—экспорторасширяющий, импортированный, импортозамещающий, разоряющий рост; по отношению к действующему законодательству—легальный, теневой и криминальный рост и др.