Построение модели парной регрессии

Решение

      Для определения неизвестных параметров b₀, b₁,b₂ уравнения множественной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

nb₀ + b₁∑X₁ + b₂∑X₂ = ∑Y 

b₀∑X₁ + b₁∑X₁² + b₂∑X₁X₂ = ∑X₁Y

b₀∑X₂ + b₁∑X₁X₂ + b₂ ∑X₂²= ∑X₂Y.

     Для решения этой системы вначале  необходимо определить значения величин, которые определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 4).

Таблица 4 – К расчету коэффициентов  регрессии

 

      Тогда система приобретает вид:

10b₀ + 352,6b₁ + 247,3b₂ = 29 

352,6b₀ + 20721,23b₁ + 9943,31b₂ = 1247,62

247,3b₀ +9943,31b₁ + 11317,12b₂= 1106,93.

     Для решения данной системы воспользуемся  методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

→ .

После преобразования имеем:

b₀ + 35,26b₁ + 24,73b₂ = 2,9 

b₁ + 0,148b₂ = 0,027

5020,311b₂=356,725.

Откуда:

b₂= 0,07,  b₁ = 0,017, b₀ = 0,57.

     Тогда окончательно зависимость чистого  дохода от оборота капитала и использованного капитала в виде линейного уравнения множественной регрессии имеет вид:

У = 0,57 + 0,017Х₁ + 0,07Х₂

     Из  полученного эконометрического  уравнения видно, что с увеличением  используемого капитала чистый доход  увеличивается, и с увеличением оборота капитала чистый доход увеличивается. Кроме того, чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную. В данном случае величина b₂ больше, чем величина коэффициента b₁, следовательно, используемый капитал оказывает значительно большее влияние на чистый доход, чем оборот капитала.

     Для количественной оценки указанного вывода определим частные коэффициенты эластичности:

;

.

     Анализ  полученных результатов также показывает, что большее влияние на чистый доход оказывает используемый капитал. Так, в частности, при увеличении используемого капитала на 1% чистый доход увеличивается на 0,6 %. В то же время, с ростом оборота капитала на 1% чистый доход увеличивается на 0,21 %. 

     Теоретическое значение критерия Фишера Fт:

,

     Критическое значение Fкрит определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости 0,05 равняется 4,74. Так как Fт > Fкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически значимым. 

     Оценка  статистической значимости коэффициентов  регрессии b₁ и b₂ сводится к сопоставлению численного значения этих коэффициентов с величиной их случайных ошибок m_b1 и m_b2 по зависимости:

Рабочая формула для расчета теоретического значения t–статистики имеет вид:

где парные коэффициенты корреляции и коэффициент множественной регрессии рассчитываются по зависимостям:

     Тогда теоретические значения t–статистик соответственно равны:

t_b1=–741,66, t_b2  = -589,6.

     Поскольку критическое значение t–статистики, определенное по статистическим таблицам для уровня значимости 0,05 равно tкрит=2,36, больше по величине обеих значений, то нулевая гипотеза не отвергается, и обе объясняющие переменные являются незначимыми. 
 

     Для определения средней ошибки аппроксимации  составим таблицу.

Таблица 5 – К расчету средней ошибки аппроксимации

 

     Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

     Полученное  значение превышает допустимый предел 12-15%, поэтому построенную модель нельзя назвать точной. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

1. Сформирована экономическая модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (х)

     

2. На основании  анализа численного значения коэффициента корреляции r_xy=-0,572 установлено наличие слабой прямой статистической связи между величиной доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) и величиной среднемесячной начисленной заработной платы (ч).
3. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 2,86 %. Полученное значение не превышает установленные практикой пределы (12,,,15)%, что свидетельствует о не существенности среднего отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена экономическая модель.
4. С использованием F- критерия установлено, что полученное управление парной регрессии в целом является статистически незначимым, и не адекватно описывает изучаемое явление связи величины доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (У) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (ч).
5. Сформирована экономическая модель множественной линейной регрессии, связывающей величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂

    
 

6. Путем расчета  коэффициентов эластичности показано, что при изменении оборота капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,21%, а при изменении используемого капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,6%.
7. С использованием t-критерия выполнена оценка статистической значимость коэффициентов регрессии установило, что обе объясняющая переменная х₁, которые является статистически незначимыми.
8. С использованием F – критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимыми, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂.
9. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением множественной регрессии, которая составила величину 35,5%, превышающую рекомендованных практикой пределов.

 
 
 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 
 

1. Эконометрика. /под ред. Члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой./ М.: Финансы и статистика, 2001г.
2. Доугорки К. Введение в эконометрику: пер. с англ. – М.:ИНФРА-М, 2001г.
3. Эконометрика: курс лекций: Степанов В.Г. – М.:МИЭМП, 2004г.
4. Практикум по эконометрике: Учебн. Пособие /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др.; под ред. И.И. Елисеевой С Финансы и статистика, 2003г.
5. Эконометрика: Учебн. Программа для студентов высших учебных заведений /сост.: С.А. Харламов. –М, МИЭМП, 2004г.