При заданных k = 5,  x_max = 60,923 и x_min = 16,0

h =

      При  h = 9  границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

      Таблица 2

      Определяем  число фирм, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому фирмы со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (24,9846, 33,9692, 42,9538 и 51,9384 ), будем относить ко второму из смежных интервалов.

      Для определения числа фирм в каждой группе строим разработочную    таблицу 3 (данные графы 4 потребуются  при выполнении Задания 2).

           Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального  ряда распределения и аналитической  группировки

     На  основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения фирм по среднесписочной численности менеджеров.

 Таблица 4

Распределение фирм по среднесписочной численности  менеджеров

     Приведем  еще три характеристики полученного  ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

      Таблица 5

Структура фирм по среднесписочной численности  менеджеров

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности фирм показывает, что распределение фирм по среднегодовая стоимость основных производственных фондов не является равномерным: преобладают фирмы со среднесписочной численностью менеджеров от 33,9692-42,9538 (это 12 фирм, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа фирм имеет 16,0-24,9846, включает 3 фирмы, что составляет по 10% от общего числа фирм.

     2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и путем  расчетов

      Для определения моды графическим методом  строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму  распределения фирм по изучаемому признаку. 
 
 
 

 
 

Рис. 1. Определение моды графическим методом

    Расчет  конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

               

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

     h – величина модального интервала,

     f_Mo – частота модального интервала,

     f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

     f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

    Согласно  табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 33,9692-42,9538 , т.к. он имеет наибольшую частоту (f3=12). Расчет моды:

    Вывод. Для рассматриваемой совокупности фирм наиболее распространенная среднегодовая стоимость основных производственных фондов характеризуется средней величиной 39,4982 .

    Для определения медианы графическим  методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения фирм по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение  медианы графическим методом

    Расчет  конкретного значения медианы для  интервального ряда распределения  производится по формуле

                         ,

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

      h – величина медианного интервала,

       – сумма всех частот,

      f_Ме – частота медианного интервала,

      S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

    Определяем  медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 33,9692-42,9538  ,т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=19 впервые превышает полусумму всех частот ( ). 

    Расчет  медианы:

    Вывод. В рассматриваемой совокупности фирм половина фирм имеют среднесписочную численность менеджеров не более 39,959 , а другая половина – не менее 39,959

3. Расчет характеристик  ряда распределения

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала).

     Таблица 6 

Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

      Рассчитаем  среднюю арифметическую взвешенную:

      Рассчитаем  среднее квадратическое отклонение:

      Рассчитаем  дисперсию:

     σ² = 10,133983² = 102,69761 

      Рассчитаем  коэффициент вариации:

      

      Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина среднегодовая стоимость основных производственных фондов составляет 39,9589, отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 10,134  (или 25,4%).

     Значение  V_σ = 25,4% не превышает 33%, следовательно, вариация среднесписочной численности менеджеров в исследуемой совокупности фирм незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =39,9589, Мо=39,4982, Ме=39,959), что подтверждает вывод об однородности совокупности фирм. Таким образом, найденное среднее значение среднегодовая стоимость основных производственных фондов (39,9589) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности фирм.

4. Вычисление средней  арифметической по  исходным данным     о среднесписочной  численности менеджеров  фирм

     Для расчета применяется формула  средней арифметической простой:

     

,

Причина расхождения  средних величин, рассчитанных по исходным данным (39,3237) и по интервальному  ряду распределения (39,9589), заключается  в том, что в первом случае средняя  определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти фирм, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения не  совпадают, что говорит о достаточно разномерном распределении валового дохода внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2 Выявление наличия  корреляционной связи  и между признаками, установление направления  связи и измерение  ее тесноты.

 

      По  исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее: