Содержание

 

1. Олигополия и Модель  Курно

 

     Олигополией называют ситуацию, когда на рынке несколько производителей, и каждый из них может влиять на цену. Если производителей двое, то такую олигополию называют дуополией.

     В отличие от моделей монополии, где  рассматривается принятие решений единственной фирмой — монополией, в моделях олигополии рассматривается принятие решений сразу несколькими экономическими агентами — олигополистами, причем результат функционирования каждого из них зависит не только от предпринимаемых им самим действий, но и от действий его конкурентов. Таким образом мы сталкиваемся здесь с феноменом так называемого стратегического поведения — предмета теории игр. В связи с этим практически все модели олигополии представляют собой игры различного рода, и моделирование олигополистических рынков в существенной степени использует аппарат теории игр.

     Мы  будем предполагать здесь, если не оговорено  иное, что общая структура олигополистической отрасли (технология, количество производителей, тип конкуренции и т.д.) заданы экзогенно. Логически возможны разные гипотезы о поведении участников олигополии. Участники могут демонстрировать либо некооперативное, либо кооперативное поведение (сговор, картель). Поэтому типы некооперативного поведения можно классифицировать по следующим признакам:

1. Одновременное принятие решений.
2. Последовательное принятие решений. Традиционно рассматриваемый — один из участников лидер, остальные подстраиваются к его решению. Возможны и более сложные цепочки ходов.

 

     Нас прежде всего интересует некооперативное  поведение олигополистов

     В дальнейшем будем считать, что некоторую  однородную продукцию производят n фирм, технологии которых представлены возрастающими функциями издержек , а спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса . Областью определения для выпусков y_j везде будем считать . Кроме того в дальнейшем мы не будем учитывать требование неотрицательности прибыли отдельного олигополиста. Под равновесием совершенной конкуренции будем понимать такое равновесие, которое установилось бы, если бы производители игнорировали влияние своего объема выпуска на цену. 

     В модели Курно производители принимают  решение относительно объемов производства и принимают эти решения одновременно, исходя из своих предположений о решениях, принятых другими (их конкурентами).

     Курно сделал два главных вывода:

1. Для любой отрасли существует определенное и стабильное равновесие между объемом продаж и ценой товара.
2. Цена равновесия зависит от числа продавцов.

     При единственном продавце возникает монопольная  цена. По мере увеличения количества продавцов цена равновесия падает, пока она не приблизится к предельным издержкам. Таким образом, модель Курно показывает, что конкурентное равновесие достигается тем больше, чем больше возрастает число продавцов. 

     Другими словами в модели рассматриваются  взаимозависимости цены товара и спроса на него при различных рыночных ситуациях, т. е. при различной расстановке сил покупателей и продавцов.

     Пусть — ожидаемый (производителем j) объем производства производителя — составленный из этих ожиданий вектор . Тогда при выпуске его (ожидаемая) прибыль составит величину . Выпуск, максимизирующий прибыль при ограничении , зависит, таким образом, от ожидаемого объема производства других производителей. Если ожидаемые объемы производства совпадают с фактическими, то такое состояние можно назвать равновесием олигополии. Описанное понятие равновесия было введено в прошлом веке французом Антуаном Огюстеном Курно. Это равновесие часто называют равновесием Курно. Следует отметить, однако, что было бы точнее говорить о равновесии Нэша в модели Курно.

     Равновесие  Курно — это совокупность выпусков и ожиданий , таких что выпуск любого производителя, , максимизирует его прибыль на при ожиданиях , и ожидания всех производителей оправдываются, т.е. .

     Другими словами, является решением задачи:

     

     Зависимость оптимального объема производства от называют функцией отклика, если решение задачи единственно (отображением отклика в общем случае). Будем обозначать ее через , где — (ожидаемый) суммарный объем производства блага всеми другими производителями. Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие Курно является решением следующей системы уравнений:

     Пусть — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (условия первого порядка):

,

где

причем , если

     Данные  соотношения — необходимые условия  первого порядка, представляют дифференциальную характеристику равновесия Курно.

     Рассмотрим  с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуополии) (Рис. 1). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли ( и ) и кривые отклика ( и ), которые можно определить как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответствующим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша-Курно

     

Рисунок 1 

1.1. Свойства в случае постоянных и одинаковых предельных издержек.

 

     Проведем  анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. . Кроме того будем предполагать выполнение условий:

1. (С₁)
2. существует ,такой что (С₂)
3. функция дифференцируема и . (С₃)

Симметричность  равновесия и положительность  выпусков

     Докажем, что объемы производства у всех олигополистов  совпадают. Пусть это не так, и  существуют два производителя, j и k, такие что . Запишем условия первого порядка, учитывая, что выпуск положителен, а может быть равен нулю:

     Вычитая из второго неравенства первое, получим

     Поскольку , то . Получили противоречие. Таким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: , а условия первого порядка совпадают и приобретают вид

причем  неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск положителен.

     Если  , то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя в условия первого порядка, получаем

Существование и единственность равновесия

     Таким образом, при  , выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид

     Замечу, что существование корня этого  уравнения можно гарантировать, если выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах интервала .

     Если  дополнительно потребовать, чтобы  функция  была вогнута по у при любом у'>0, то можно утверждать, что — равновесие Курно (выполнено условие второго порядка).

     Замечу  при этом, что поскольку при  сделанном предположении функция вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

     Действительно, функцию можно представить в виде

     Первое  слагаемое здесь не возрастает, а  второе убывает при  , поэтому функция убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

     В точке Y=0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили,

Сравнение равновесия Курно  с равновесиями при  монополии и совершенной конкуренции

     Следует отметить три характеристики равновесия Курно:

1. Объем выпуска  в равновесии Курно выше, чем объем выпуска при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

2. Объем выпуска  в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска в условиях совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные).

3. При росте числа участников  объем выпуска в равновесии  Курно приближается к равновесию при совершенной конкуренции. 
 

Теорема 1.

     Пусть — равновесие Курно, и — равновесие при совершенной конкуренции, у — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия C₁ — C₃. Тогда

     

 

     Доказательство.

     Как было показано выше, равновесие Курно  удовлетворяет условию

     Как было доказано выполнение С₁-С₃ гарантирует, что , поэтому удовлетворяет условию первого порядка

     С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным издержкам:

     Вычитая из третьего соотношения первое, получим:

     Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция  убывает, то

     Предположим, что . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y* — совокупный выпуск в равновесии Курно.

Рост  выпуска с ростом числа участников

 

Теорема 2

Предположим, что выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема. Пусть — суммарный выпуск в равновесие Курно с п участниками. Тогда

     

 

     Доказательство.

     Для любого выполняются соотношения (условия первого порядка):

     Предыдущая  теорема гарантирует ограниченность последовательности . Так как функция непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность . Отсюда:

Следовательно,

1.2. Свойства в случае  функций издержек  общего вида

 

     Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от итого предположения.