Контрольная работа по "Экономической теории"

Содержание

 

 

 

ЧАСТЬ I

Организации, занимающейся производством продуктов питания, необходимо спланировать свою дальнейшую деятельность. Для этого, помимо всего прочего, необходимо спрогнозировать объемы продаж своей продукции на весь планируемый период времени. Исходными данными для прогноза служат накопленные данные по продажам произведенных продуктов за предыдущие месяцы (в таблицах они приведены в условном виде).

По данным, характеризующим  изменение объемов продаж (таблица 1), требуется выполнить следующие задания:

1. Построить график изменения объема продаж во времени.

2. Применить метод трехчленной скользящей средней.

3. Построить систему нормальных уравнений и рассчитать константы прогнозирующей функции.

4. Определить наиболее вероятные объемы продаж в 13,14,15 месяцы.

5. Оценить правильность  подбора прогнозирующей функции  с помощью остаточной дисперсии,  остаточного среднеквадратического  отклонения и индекса корреляции.

6. Рассчитать возможные ошибки прогноза, определив доверительные - интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13,14,15 месяцы.

7. Построить на одном графике кривые скользящей средней и прогнозирующей функции вида y_t = f(t).

Исходные данные содержатся в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные по вар. 2.

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем, продаж (тыс. руб.)	15	37	35	46	39	62	78	67	83	95	106	117

 

Вид прогнозирующей функции  – экспоненциальная.

Вид сравниваемой прогнозирующей функции – линейная.

 

РЕШЕНИЕ

1. График изменения объемов продаж.

График строится путем  нанесения точек, соответствующих исходным данным, на координатное поле и соединения их прямыми отрезками.

Рис. 1. График изменения объема продаж

2. Применить метод трехчленной скользящей средней.

Метод скользящей средней  используется для сглаживания эмпирических кривых. Метод основан на замене фактических показателей их усредненными величинами. В зависимости от периода усреднения различают скользящие средние, рассчитанные для нечетного и четного чисел интервалов времени. Количество членов в скользящей средней определяется количеством усредняемых точек.

Кроме того, из-за сглаживания  происходит выравнивание контура исходной кривой, что позволяет визуально  определить тенденцию изменения  показателя, т.е. по внешнему виду полученной кривой сделать предварительный  прогноз.

Исходя из вышесказанного, значения трехчленных скользящих средних для трех членов ряда вычисляются по формуле:

=( y_t-1+ y_t+ y_t+1)/3,    t = 2, 3,…, ( n - 1),

где y_t-1, y_t, y_t+1  - выбираются из построенного графика.

Расчет трехчленной скользящей средней производим в таблице 2.

Таблица 2

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем, продаж (тыс. руб.)	15	37	35	46	39	62	78	67	83	95	106	117
Скользящие средние	-	29.0	39.3	40.0	49.0	59.7	69.0	76.0	81.7	94.7	106.0	-

 

3. Построить систему нормальных уравнений и рассчитать константы прогнозирующей функции (для вар.2 - экспоненты).

Система нормальных уравнений  строится на основе минимизации суммы  квадратов отклонения расчетных  значений от фактических (метод наименьших квадратов - МНК).

Если аппроксимирующая зависимость является нелинейной, то зависимость предварительно линеаризуется.

Функция	Исходное уравнение	Способ замены переменных	Линеаризованное уравнение
Экспоненциаль-ная	yt = a*ebt	Логарифмируем lnyt =ln a+bt 2. Обозначим yt/ = lnyt a/= ln a	yt/ = a/+bt

 

ìSy’_t= na’ + bSt,

í                                                                    

îSy’_t t = a’ St + bSt²

 

Сомножитель n в первом уравнении системы характеризует объем выборочной совокупности (n = 12).  Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений удобно записать в специальную таблицу (таблицу 3).

Имеем:

Решаем систему уравнений, например, методом подстановки и  получаем:

Отсюда b=0,15336

Мы нашли, таким образом, параметры регрессии: а’ =3.04093; b = 0.15336

Находим a = exp(a’) = 20.92469.

 

Итак:

Y_t = 20.92469*e^0.15336t

Таблица 3

	Месяцы, t	Объем продаж y	y' = lny	t2	y't	yрасч
	1	15	2.7081	1.0000	2.7081	24.3928
	2	37	3.6109	4.0000	7.2218	28.4358
	3	35	3.5553	9.0000	10.6660	33.1489
	4	46	3.8286	16.0000	15.3146	38.6432
	5	39	3.6636	25.0000	18.3178	45.0481
	6	62	4.1271	36.0000	24.7628	52.5145
	7	78	4.3567	49.0000	30.4970	61.2185
	8	67	4.2047	64.0000	33.6375	71.3652
	9	83	4.4188	81.0000	39.7696	83.1935
	10	95	4.5539	100.0000	45.5388	96.9824
	11	106	4.6634	121.0000	51.2978	113.057
	12	117	4.7622	144.0000	57.1461	131.795
Сумма:	78	780	48.4534	650.0000	336.8779	780

 

Зная параметры уравнения  тренда, можно определить расчетные  значения переменной Y, для всех месяцев предпрогнозного периода, что и сделано в последней колонке таблицы 3.

4. Определить наиболее вероятные объемы продаж в 13, 14 и 15 месяцы.

После того как мы получили прогнозирующую функцию, можно прогнозировать развитие процесса в будущем. Для этого надо просто подставить в полученную формулу:

Y_t = 20.92469*e^0.15336t

 

значения t = 13,14,15.

 

Имеем:

Y₁₃ =20.92469*e^0.15336*13  = 153.64

Y₁₄ = 20.92469*e^0.15336*14  = 179.11

Y₁₅ = 20.92469*e^0.15336*15  = 208.79

 

5. Оценить правильность подбора прогнозирующей функции с помощью остаточной дисперсии, остаточного среднеквадратического отклонения и индекса корреляции.

Рассчитаем правильность подбора прогнозирующей функции (в нашем случае - экспоненциальной кривой), сравнив её с другой прогнозной функцией - прямой линией. Линейная функция задается формулой:

ў_t = a+bt,

а система нормальных уравнений для неё -

 

ìSy_t= na + bSt,

í                                           

îSy_tt = aSt + bSt²

 

Для расчета статистических показателей воспользуемся формулами (5)-(8) методических указаний. Искомые уравнения тренда:

- экспоненциальная функция: Y_t = 20.92469*e^0.15336t

- линейная функция: Y_t = 8.5594*t + 9.3636 (см. рис.2.)

Вычислим значение средней арифметической у_ср = 780 / 12 = 65.

Рассчитаем статистические показатели, для чего промежуточные данные вычислений (для суммарных значений) запишем  в табличной форме (табл. 4).

Таблица 4.

	Месяцы, t	Объем продаж y	Значения прогнозирующей функции		Значения (y/t-yt)2		(yt-yср)2
			Экспон.	Линейн.	Экспон.	Линейн.
	1	15	24.39	17.92	88.23	8.54	2500.00
	2	37	28.44	26.48	73.35	110.62	784.00
	3	35	33.15	35.04	3.43	0.00	900.00
	4	46	38.64	43.60	54.12	5.75	361.00
	5	39	45.05	52.16	36.58	173.20	676.00
	6	62	52.51	60.72	89.97	1.64	9.00
	7	78	61.22	69.28	281.62	76.05	169.00
	8	67	71.37	77.84	19.05	117.48	4.00
	9	83	83.19	86.40	0.04	11.55	324.00
	10	95	96.98	94.96	3.93	0.00	900.00
	11	106	113.06	103.52	49.80	6.17	1681.00
	12	117	131.80	112.08	218.90	24.24	2704.00
Сумма:	78	780	779.79	780.00	919.01	535.24	11012.00

Рис. 2. Расчет параметров линейной регрессии средствами Excel

Для экспоненциальной функции:

Для линейной функции:

Сравнив эти три показателя между собой, мы видим, что для линейной функции они ниже, чем для экспоненциальной. Следовательно, линейная функция в нашем случае лучше подходит для уравнения прогноза.

Чтобы вычислить индекс корреляции R, необходимо вычислить общую дисперсию по формуле:

Рассчитаем значение индекса корреляции R:  

Для экспоненциальной функции:

Для линейной функции:

Чем больше индекс корреляции, тем сильнее взаимодействие между переменными t и у. Как видно значение индекса корреляции приближается к единице, что указывает на очень высокую тесноту связи между переменными.

 

6. Рассчитать возможные  ошибки прогноза, определив доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13, 14, 15 месяцы.

Для определения возможной  ошибки прогноза доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж рассчитываются по формуле:

y_t^в(н) = 

± ∆t , 

∆t = t_ТD_ост  

t_т - табличное значение t-критерия Стьюдента. Определяется по таблице (см. Приложение) для параметра k = n-2 и доверительной вероятности 0,95 или 0,99;

D_ост - остаточное среднее квадратическое отклонение:

D_ост  =

,  

где N - количество констант в уравнении прогноза.

Рассчитаем доверительный  интервал для прогнозного значения объема продаж на момент времени t =13 для линейной регрессии:

Y_t = 20.92469*e^0.15336t

t_ср = 78/12 = 6.5 – среднее арифметическое t.

- сумма квадратов t.

Табличное значение критерия Стьюдента: t_т = 3,17 для k =12-2=10 и Р = 0,99

Аналогично рассчитываем доверительные интервалы для  последующих точек прогноза:

В окончательном виде 99%-е прогнозы:

 

Y₁₃ = 120.6±27.2 (тыс. руб.)

Y₁₄ = 129.2±28.2 (тыс. руб.)

Y₁₅ = 137.8±29.2 (тыс. руб.)

 

7. Построим графики  изменения объема продаж во  времени, скользящей средней и прогнозирующей функции.