Содержание

Задача

       Построить модель связи между  указанными факторами, проверить ее адекватность осуществить точечный и интервальный прогноз.

Исходные  данные

Решение

     1. Исходные данные нанесем на координатную плоскость и сделаем предварительное заключение о наличии связи между факторами Х и Y а также о ее виде (прямая или обратная) и форме (линейная или нелинейная).

       

     График  поля корреляции позволяет сделать  вывод, что между факторами Х  и Y существует прямая линейная связь. 

     2. Рассчитаем парный коэффициент корреляции r_xy. Используя  
t-критерий Стьюдента, проверим значимость полученного коэффициента корреляции. Сделаем вывод о тесноте связи между факторами Х и Y.

     Для расчета парного коэффициента корреляции заполним вспомогательную таблицу:

 

     Парный  коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

     

     

     

     

     Т.к. значение коэффициента , то связь между X и Y обратная, а т.к. менее 0,7, то связь умеренная.

     Проверка  значимости коэффициента корреляции:

     

     Гипотеза  о равенстве коэффициента коэффициента корреляции нулю Н₀ отвергается пи уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 10 – 2 = 8. Т.к. , то можно сделать вывод о незначимости данного коэффициента корреляции. 

     3. Полагая, что связь между факторами Х и Y может быть описана линейной функцией, запишем соответствующее уравнение этой зависимости. Вычислим оценки неизвестных параметров уравнения парной регрессии по методу наименьших квадратов. Дадим интерпретацию полученных результатов.

     Уравнение регрессии имеет вид:

     

     Система нормальных уравнений для оценки параметров а и b:

     

     Решаем  методом МНК, получаем систему

     

     Решая систему, находим: а = 112,78, b = -2,2125

     Тогда уравнение регрессии имеет вид:

     

     Параметры уравнения регрессии говорят  о том, что  с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 млн.руб., среднесуточная производительность снизится на 2,2125 тонны в среднем.

       
 
 

     4. Проверим значимость всех параметров модели по t-критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов построим доверительные интервалы. Сформулируем выводы.

     В линейной регрессии обычно оценивается  значимость не только уравнения в  целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: m_b и m_a.

     Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

.

     Для определения значения m_b строим вспомогательную таблицу:

 

     

     Величина  стандартной ошибки совместно с  t-распределением Стьюдента при (n – 2) наблюдениях применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов – интервалов, в которые попадает коэффициент с вероятностью 1– α.

     Для оценки существенности коэффициента регрессии  его величина сравнивается с его  стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости α и показателе  
n – 2. Если фактическое значение t-критерия превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

     Для данных задачи получаем:

     Доверительный интервал для коэффициента регрессии  определяется следующим образом:

.

     При (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 8 табличное значение . Поскольку фактическое значение t-критерия превышает табличное, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

     Доверительный интервал для параметра  :

.

     Таким образом, получаем интервал .

     Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

.

 

     Для определения значения m_а строим вспомогательную таблицу:

 

     

     Процедура оценивания существенности данного  параметра не отличается от рассмотренной  выше для коэффициента регрессии; вычисляется  t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при (n – 2) степенях свободы:

     Доверительный интервал для  :

.

     Таким образом, интервал для параметра  .

     Если 0 попадает в доверительный интервал, то фактор (или константа) является незначимым. В нашем случае это как раз так – параметр а – незначим.

     Вывод: таким образом, параметр b уравнения регрессии является значимым, а параметр а – незначимым. Фактор х оказывает влияние на величину y, то есть среднесуточная производительность значительно зависит от изменения стоимости основных производственных фондов, но незначительно.

     5. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Сформулируем вывод.

     Н₀ – фактор х не оказывает влияние на результат у;

     Н₁ – фактор х оказывает влияние на у.

     Рассчитаем  фактическое значение F – критерия:

     

;

;

.

     

     Табличные значения:

     F_α=0,05 = 5,32

     F ≤ F _=0,05   принимаем гипотезу Н₀.

     Вывод: уравнение регрессии является значимым на уровне значимости 0,05 связь между признаками есть и описывается полученным уравнением регрессии .

 

 

     6. Построим таблицу дисперсионного анализа.

     Дисперсионный анализ результатов регрессии: