Модель взаимодействия двух популяций

На параметрическом портрете (рис.2) имеются 22 различные бифуркационные границы, которые образуют 7 различных типов бифуркаций. Их изучение позволяет выявить возможные типы поведения системы при изменении ее параметров. Например, при переходе из области 1 в область 3 происходит рождение малого предельного цикла, или мягкое рождение автоколебаний вокруг единственного равновесия В. Аналогичное мягкое рождение автоколебаний, но вокруг одного из равновесий, а именно B1, происходит при пересечении границы областей 2 и 4. При переходе из области 4 в область 5 устойчивый предельный цикл вокруг точки B1 “лопается” на петле сепаратрис и единственной притягивающей точкой остается равновесие B2 и т.д.[6]

 

 

 

 

5. Динамика  изолированной  популяции

Исследуем процессы роста и затухания хорошо перемешанной изолированной популяции живых существ, определим взаимосвязь между изменением внешних факторов и численности популяции с помощью метода фазовой плоскости.

С помощью программ моделирования EL12maltus, EL12maltode, EL12grow, EL12narcborder, исследуем динамики популяции живых существ.

Исследование функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции, фазового портрета популяции.

Программа EL12Maltus предназначена для расчета и отображения функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции, скорости изменения относительной численности популяции при заданных значениях параметров популяции, на заданном промежутке значений ее относительной численности, при заданном шаге вычислений.

Введем данные,  устанавливаем  промежуток и шаг расчетов, параметры популяции. Введенные данные не изменяем.

%EL12maltus

function maltus( N, Coefs );

if nargin == 0, N=0:.1:4; end

NChild=3;     % стандарт - 3, варьируйте от 1 до 5;

Narc=.001;   % стандарт - .001, варьируйте до .05-.1;

Commun=1.3;   % >1, стандарт - 1.3;

QLife=1;      % стандарт - 1, диапазон - от 0.5 до 1.5;

Contest=1.1;  % стандарт - 1.1, диапазон - от 1 до 2.

Получаем график:

 

Рис.6 Функции рождаемости, смертности мальтузианская функция.

 

После повторного нажатия на клавишу «Ввод» получим график скорости изменения относительной численности популяции в функции этой численности при заданных значениях параметров, то есть фазовый портрет популяции (Рис.7)

Рис.7. Фазовый портрет популяции.

Стационарные точки, будучи точками стабильности относительной численности популяции, разделяют ось этой численности на промежутки:

0N < N(пор) - промежуток затухания популяции до 0;

N(пор) < N < N(ар) - промежуток роста относительной численности популяции до N(ар); N > N(ар) - промежуток затухания относительной численности популяции до N(ар).

Исследование зависимости динамических свойств популяции от ее параметров.

В качестве показателей динамических свойств популяции, определяемых с помощью ее фазового портрета и мальтузианской функции, используем следующие величины:

- пороговую относительная  численность популяции N(пор.),

- емкость ареала или  предельное установившееся значение  относительной численности N(ар.),

- значение относительной  численности популяции в точке, где производная от этой численности  максимальна, N(m),

- максимальное значение  производной от относительной  численности популяции N’(m)=Nprime(m).

В качестве параметров, влияние которых оценивается, приняли описанные выше коэффициенты: NChild, Narc, Commun, QLife, Contest.

С целью выявления изменений в динамике численности популяции поочередно изменяем коэффициенты, задавая значения, входящие в указанные промежутки.

В результате, получим 16 графиков, отражающих взаимосвязь смертности, рождаемости и численности особей в популяции, а также соответствующие фазовые портреты.

Полученные значения N(пор), N(ар) , N(m), N’(m) занесем в таблицу 2.

 

 

 

Таблица 2.

Данные вычислительных экспериментов

Эксперимент №	Параметры популяции	Показатели динамических свойств популяции
		N(пор.)	N(ар.)	N(m)	N’(m)
1	Стандартные	0,4	1,5	1	0,1
2	NChild(1)= 1	0,2	0,1	0,2	0
22	NChild(2)= 3	0,35	1,4	1	0,1
23	NChild(3)= 5	0,25	2,8	1,7	0,31
31	Narc(1)=0,0027	0,4	2,6	1,3	0,018
32	Narc(2)=0,034	0,4	1,25	0,7	0,1
33	Narc(3)=0,98	0,2	0,2	0,2	0
41	Commun(1)=1,6	0,25	2,2	1,3	0,19
42	Commun(2)=1,95	0,2	2,25	1,3	0,2
43	Commun(3)=2	0,1	2,25	1,2	0,25
51	QLife(1)=0,5	0,1	0,1	0,1	0
52	QLife(2)=1,1	0,2	2,7	1,5	0,29
53	QLife(3)=1,5	0,29	2,2	1,3	0,18
61	Contest(1)=1	0,3	1,7	1,6	0,7
62	Contest(2)=1,5	0,3	1,3	1,2	0,2
63	Contest(3)=2	0,3	1,6	1	0,2

По результатам  полученных значений численности популяции при изменении указанных параметров, была установлена следующая взаимосвязь:

1. При увеличении значения параметра NChild отмечено колебание порогового значения относительной численности популяции N(пор.), т.е. увеличение данного параметра ведет к росту популяции.
2. С увеличением значения параметра Commun можно отметить уменьшение порогового значения относительной численности популяции N(пор.)
3. При увеличении значения параметра QLife наблюдается увеличение всех показателей численности популяции, что указывает на рост популяции.
4. С увеличением значения параметра Contest наблюдается стабильность порогового значения относительной численности популяции N(пор.), максимального темпа роста N’(m) и относительная численность популяции N(m),  емкость ареала обитания N(ар.)  при этом уменьшается.

Переходные процессы в популяции в данной работе рассматриваем при единичных начальных условиях по относительной численности популяции.

Формирование правой части дифференциального уравнения первого порядка, соответствующе уравнениям, выполняется программой EL12maltode. Эта программа содержит те же пять строк варьируемых параметров популяции, что и программа EL12Maltus:

%EL12maltus

function maltus( N, Coefs );

if nargin == 0, N=0:.1:4; end

NChild=3;     % стандарт - 3, варьируйте от 1 до 5;

Narc=.001;   % стандарт - .001, варьируйте до .05-.1;

Commun=1.3;   % >1, стандарт - 1.3;

QLife=1;      % стандарт - 1, диапазон - от 0.5 до 1.5;

Contest=1.1;  % стандарт - 1.1, диапазон - от 1 до 2.

 

В первой содержательной строке программы вводим пределы интегрирования уравнения  [t(начальное), t(конечное)] и начальные условия по N для начальных значений.

Для построения переходных процессов были приняты стандартные значения параметров популяции NChild, Narс, Commun, QLife, Contest в программе EL12maltode, затем приняли введенные начальные условия и пределы интегрирования в программе EL12grow и набраем в рабочем окне МАТЛАБа команду EL12grow.

В результате, получаем график (Рис.8)

 

Рис.8 Переходные процессы в популяции

На графике отображено влияние параметра NChild на емкость ареала и время установления нового значения плотности популяции в нем, при несбалансированных начальных условиях.

Вывод по проделанной работе:

 В результате проведенной работы можно сделать вывод о том, что при незначительном изменении стандартных значений внешних параметров наблюдается резкое изменение численности популяции и её темпов развития.

В ходе работы мы получили фазовые портреты с учетом  изменения внешних условий, на основании которых и были установлены взаимосвязи между исследуемыми параметрами популяции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Математические модели - не только средство для количественного описания явлений. Модель сложной системы - это математический образ, позволяющий формализовать и обобщить в терминах теории представления о многочисленных свойствах и характеристиках сложной системы. Расширение понятийного и образного круга не меньше чем количественные расчеты представляет собой ценный результат междисциплинарных исследований с применением аппарата математики и физики для изучения живых систем. В этом смысле популяционная динамика занимает особое место. При всей ограниченности "числа особей", как характеристики вида или сообщества, значение термина "численность" имеет четкий и универсальный смысл.

При моделировании биоценоза из двух видов система Вольтерра дает возможность для описания устойчивого сосуществования видов в условиях конкуренции, симбиоза и хищничества (паразитизма). При попытке описать устойчивые колебания численности видов мы сталкиваемся с трудностями. Система уравнений, описывающая взаимодействия хищник-жертва без учета самоограничения численности популяций и имеющая особую точку типа центр, ‑ негрубая и, следовательно, неустойчива к случайным флуктуациям численности. Предельных же циклов, являющихся фазовыми траекториями устойчивых автоколебаний, система типа Вольтерра иметь не может. Для получения предельных циклов в модельных системах приходится выходить за рамки гипотез Вольтерра и учитывать более тонкие эффекты взаимодействия между видами. Правые части уравнений при этом становятся существенно нелинейными.

 

 

 

 

Библиографический список

1. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. Пороблемы кибернетики. М., 1972, Вып.5.
2. А.Д.Базыкин “Биофизика взаимодействующих популяций”. М., Наука, 1985.
3. В.Вольтерра: «Математическая теория борьбы за существование». М.. Наука, 1976
4. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993, 301 с.
5. М.Бигон, Дж.Харпер., К. Таунсенд. Экология. Особи, популяции и сообщества. М., Мир. 1989, Том 1, 657 с.
6. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 176 с.