Древнекитайское естествознание и даосизм

Важной особенностью китайской науки является ее догматизм. В течение веков китайская наука направлялась чиновниками, придавшими ей, как и многим сторонам жизни страны, бюрократический характер. Если основное математическое произведение греческой науки — «Начала» Евклида — представляет собой единый труд, в котором составные части, написанные разными математиками, подверглись значительной обработке, то китайские «классические трактаты» переиздавались без всяких изменений; среди них «Математика в девяти книгах», которая в свою очередь является собранием нескольких сочинений, написанных разными людьми в различные эпохи.

2.2.Китайская нумерация и арифметические действия.

Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе. Форма китайских иероглифических цифр, возникших во II тысячелетии до н. э., установилась к III в. до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время и имеют вид, указанный в первом столбце таблицы.

При записи, например, числа, состоящего из тысяч, сотен, десятков и единиц, сверху или слева записывается число тысяч, затем знак тысячи, число сотен, знак сотпи, число десятков, знак десятка и, наконец, число единиц. Если какой-нибудь разряд отсутствует, он пропускается. Разряды записываются сверху вниз или слева направо. Первые три иероглифа, очевидно, представляют собой изображение одного, двух и трех пальцев, счетных палочек или зарубок.

Если мы будем обозначать цифры от 1 до 9 нашими обычными цифрами, а 10, 100 и 1000 — римскими цифрами X, С и М, мы можем записать число 1968 этим способом в виде 1М9С6Х8. Видоизменениями этих иероглифов являются китайские коммерческие цифры, приведенные во втором столбце той же таблицы.

Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились на счетной доске с помощью счетных палочек. Слово «суань» — «считать» обозначается тем же иероглифом, что и счетная палочка. Счетные палочки делались из бамбука, слоновой кости или металла. Когда были изобретены отрицательные числа, палочки стали делать двух цветов — красные и черные или с различными сечениями — квадратным и треугольным. Палочки раскладывались на счетной доске, которая, как полагают, была разлинована на строки и столбцы. Цифры, составленные из счетных палочек, имели вид, указанный в третьем столбце таблицы, с той разницей, что отсутствие разряда указывалось пустым местом на счетной доске. Оно было хорошо заметно благодаря чередованию вертикального и горизонтального положений палочек. В математической литературе эти цифры изображались на бумаге; в этом случае отсутствие разряда указывалось знаком, приведенным в таблице.

Таким образом, на счетной доске мультипликативный принцип, на котором была основана иероглифическая запись цифр, оказался ненужным, и запись стала позиционной. Однако, в отличие от вавилонян, применявших позиционную нумерацию и в письме, китайцы пользовались ею только на счетной доске.

Впоследствии на основе счетной доски возник счетный прибор суаньпань (см. фото), напоминающий русские счеты. Японцы, перенявшие этот прибор у китайцев, называют его «сарабан». Суаньпань представляет прямоугольную рамку, в которой натянуты 12 или более параллельных проволок. Перпендикулярно: проволокам проведена перегородка, разделяющая рамку на две неравные части. В большем отделении на каждой проволоке нанизано по пять подвижных шариков, в меньшем — по два. Проволоки соответствуют десятичным разрядам, каждый шарик меньшего отделения имеет значение, равное значениям пяти шариков большего отделения на той же проволоке.

Сложение и вычитание при счете на доске сводятся к простому добавлению и отниманию палочек в соответствующих разрядах, так что в таблице сложения не возникает потребности. Поэтому в текстах зафиксированы лишь правила умножения и деления. Но и по ним можно судить о первых двух действиях, которые отличаются от современных только некоторыми техническими деталями, обусловленными счетом на доске. Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов, расположение заданных чисел и ответа иное, чем на бумаге. Промежуточные результаты исчезают в процессе счета, так что непосредственная проверка невозможна.

Вот один из примеров Сунь-цзы на умножение: 81 х 81 = 6561.

Правило по существу описывает следующие этапы вычислений (в первой строке дается множимое, во второй — произведение, в третьей — множитель). Особо фиксируется при этом внимание на размещение разрядов по столбцам:

Столбцы содержат: а) начальное положение чисел; б) частное произведение первой цифры множителя на первую цифру множимого; в) умножение второй цифры множителя на первую цифру множимого; г) подготовку к умножению на вторую цифру множителя; д) осуществление действия; е) окончательный результат.

Произведение 6561 остается на доске, все остальные цифры в процессе счета убираются. При делении числа располагаются соответственно по строкам: частное, делимое и делитель. Сунь-цзы отмечает взаимную обрат-ность этой операции умножению. Исторически умножение и деление были освоены независимо друг от друга, и только потом была установлена связь между ними. Это хорошо видно в древних китайских задачах, из «Ма-матики в девяти книгах», где произведение интерпретировалось как площадь поля, а частное — как доля, которую получает каждый участник при делении некоторого количества предметов, например монет. В традиционную форму распределения облекалось даже деление дробей.

Отметим, что в Китае существовала компактная таблица умножения от 9 х 9 = 81 до 1 х 1 = 1 (без повторений), которая распевалась учениками. В старинной китайской математической литературе имеются и другие числовые таблицы, например таблица всех произведений m2n2, где m = 9,8,7,...,1; n = m,..., 1, включающая квадраты, кубы и четвертые степени чисел. Таким образом, больших чисел, обширных числовых таблиц и сложных вычислений математики древнего Китая не боялись.

2.3.Геометрия, теория пропорций, системы линейных уравнений, инфинитезимальные процедуры, отрицательные числа.

В древнекитайском «Трактате об измерительном шесте» указывается, что теорема Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 была известна Шан Гао за 1100 лет до н. э. а в в общем случае — Чэнь-цзы, жившему в VI в. до н. э. В комментариях к этой книге указано, что доказательство этой теоремы было основано на чертеже, в силу которого квадрат, построенный на сумме катетов a и b прямоугольного треугольника, может быть представлен в виде суммы квадрата, построенного на разности зтих катетов, и четырех прямоугольников со сторонами a и b и в виде суммы квадрата, построенного на гипотенузе с треугольника и четырех треугольников, конгруэнтных данному, т. е. (a+b) 2 =4ab+ (a−b) 2 =2ac+ c 2 ,  откуда вытекает соотношение a 2 + b 2 = c 2 .

Среди задач IX книги «Математики в девяти книгах» следует упомянуть задачи о камыше, растущем в середине квадратного водоема, и о сломанном тростнике, касающемся вершиной земли на некотором расстоянии от корня. В задачах этого типа требуется определить b и c из соотношения a 2 = c 2 − b 2 =(c−b)(c+b)  по известным a и c ± b. Правило решения этих задач можно выразить формулами c+b= a 2 c−b , c−b=k.  Тогда либо 2c= a 2 k +k,⇒c= a 2 k +k 2 ,  либо 2b= a 2 k −k,⇒b= a 2 k −k 2 .

Китайцы умели определять также выражение радиуса r круга, вписанного в прямоугольный треугольник, через заданные катеты a и b: 2r= 2ab a+b+c ,  где с = √ a2 + b2. Это значит, что китайским математикам были известны такие геометрические факты, как перпендикулярность радиусов в точках касания касательным, равенство отрезков касательных от точки касания до точки пересечения и т. д. В одной задаче рассматривается вписанный в круг прямоугольный треугольник, причем используется то, что угол опирающийся на диаметр, прямой.

Комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй в «Трактате о морском острове» определял расстояния до недоступных предметов и размеры этих предметов (высоту морского острова, глубину оврага, ширину реки и т. д.), используя пропорциональность соответственных сторон подобных фигур.

Дроби у китайцев появились почти одновременно с целыми числами, задолго до отрицательных чисел. Первыми дробями были 1/2, 1/3 и 2/3, называвшиеся «половиной», «малой половиной» и «большой половиной» соответственно (зти названия применялись как в обиходе, так и в математических текстах).

Сложение и вычитание представлено общими правилами, отличающимися от современных лишь незначительно: вместо наименьшего общего кратного знаменателей берется просто их произведение.

Умножение и деление дробей интерпретировалось на конкретных задачах определения площади земельного участка и распределения некоторого количества, например, монет между равноправными участниками дележа. Площадь прямоугольного поля, стороны которого (в древности это «ширина» и «длина») измерены и выражены в общем случае смешанными числами (иррациональностей еще не знали), достаточно убедительно интерпретирует произведение дробей. Тем самым правило перемножения числителей и знаменателей было подкреплено геометрическим представлением.

По-видимому, подойти к  делению дробей, как к обратной задаче было гораздо сложнее. Поэтому  для китайского математика проще  было прибегнуть к традиционной задаче о дележе. Правда, при зтом пришлось считать, что и число участников может быть дробным. Это, как видно, не смущало китайских математиков, они охотно прибегали к тому, чтобы в старой форме задачи использовать новое понятие, возникшее при ее обобщении.

Деление дробей производилось большей частью не так, как это делают теперь, а путем приведения дроби к общему знаменателю. a b ÷ c d = ad bd ÷ cb bd = ad cb .

Впоследствие Чжан Цю-цзянь перешел к применяемому нами правилу, при котором деление на дробь заменяется умножением на перевернутую дробь. Первоначальное правило, так же как и наше (встречающееся у многих народов), предполагает, что дробь m/n рассматривается не как результат деления m : n, а как целое число m новых единиц, в n раз меньших прежней, вследствие чего при любом действии над дробями с разными знаменателями их приводили к общему знаменателю. При нашем же правиле дробь рассматривается как пара чисел. Переход к зтому правилу, несомненно, произошел под влиянием того, что на счетной доске дробь изображалась парой чисел и действия над дробями принимали вид действий с парами чисел.

В III в. н. э. у китайцев, пользовавшихся десятичной системой мер, по существу, начали появляться десятичные дроби, первоначально в метрологической форме. С помощью таких десятичных дробей давались приближенные выражения иррациональностей — нецелых корней, а затем и π. Уже Лю Хуэй, комментируя извлечение корней в «Математике в девяти книгах», рекомендовал пользоваться дробями со знаменателями 10, 100 и т. д. , т. е., по-видимому, он имел в виду правило N = 1 10 k N⋅ 10 2k .

Некоторые книги «Математики в девяти книгах» посвящены решению задач, сводящихся к системам линейных уравнений. По существу, алгебраические тождественные преобразования применяются в этом сочинении и во многих арифметических и геометрических задачах.

VII книга, называемая «Избыток — недостаток», по-свящспа задачам, решаемым с помощью правила двух ложных положений. Метод, применяемый в книге «Избыток — недостаток», состоит в том, что если x1, x2 — два «ложных» значения х, то при подстановке их в левую часть уравнения ах = b получаются «ошибки» y 1 =a x 1 −b, y 2 =a x 2 −b.

Обычно х1 < х < х2, и ошибки имеют разные знаки, т. е. являются «избытком» и «недостатком». Эти термины позволяют обходиться без отрицательных чисел, а потому мы должны, вообще говоря, рассматривать отдельно три варианта правила: когда имеется избыток и недостаток, когда имеются два избытка или два недостатка, и когда имеется избыток (или недостаток) и «равновесие», т. е. y1 или y2 = 0. Однако в данном случае китайцы пользовались только первым вариантом.

Из пропорции x 1 −x x 2 −x = y 1 y 2  неизвестная определялась по правилу x= x 1 y 2 − x 2 y 1 y 2 − y 1 .(1)  Числитель и знаменатель зтого выражения легко строились с помощью таблицы ( x 1 x 2 y 1 y 2 ),  выкладывавшейся на счетной доске. Преимущество этого правила состояло в том, что оно не требовало никаких алгебраических методов, было удобным и легко запоминающимся и не отказывало как при решении линейных уравнений, так и при решении более общих задач, когда получалось уже не точное, а приближенное значение. Условия некоторых из этих задач выразились бы в наших символах довольно сложно, например формулой для сложных процентов. Этот метод применялся и в случае систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Название «избыток — недостаток» носит и другое правило, применяемое для решения другой группы задач той же VII книги. В отличие от задач на правило двух ложных положений, эти задачи однотипны, в них самих уже заданы избыток и недостаток, либо два избытка или два недостатка, либо избыток или недостаток и равновесие. Однако искомые величины здесь несколько иные: это так называемые задачи на совместную покупку. Неизвестно число покупателей х и неизвестна стоимость вещи у. Два возможных пая a1 и а2 дают избыток b1 и недостаток b2. Таким образом, задается система вида a 1 x−y= b 1 , a 2 x−y= b 2 .  Даны два способа решения этих задач. С одной стороны, рекомендуется исключить неизвестное у a 1 x− a 2 x= b 1 − b 2 ,  тогда x= b 1 − b 2 a 1 − a 2 , y= a 2 x−b. (2)  Если вычислить истинный пай a= y x = a 1 b 2 − a 1 b 2 b 1 − b 2 ,  то связь этих задач с задачами на правило двух ложных положений становится очевидной. Несомненно, что причиной одинакового названия этих правил и объединения этих двух приемов, относившихся к тому же к задачам различных типов, послужило структурное сходство выражения для у в правилах (2) и выражения для х в правиле (1). Возможно, что правило двух ложных положений в китайской математике возникло благодаря перенесению на задачи первого типа приемов решения задач второго типа.

Метод фан-чэн, излагаемый в VIII книге, является вершиной достижений китайских математиков в решении линейных задач. Это регулярный алгоритм решения системы п линейных уравнений с п неизвестными, совпадающий по существу с методом Гаусса, от которого он отличается тем, что все операции здесь производятся на счетной доске. Используя современную терминологию, можно сказать, что китайский вычислитель применял матрицу, столбцы которой представляют уравнения, а строки — коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Слово «фан-чэн» буквально означает выстраивание чисел по клеткам. Правильное расположение чисел на счетной доске заменяло китайскому математику буквы и индексы нашей символики. А в словесном описании систем применялся условный язык специальных знаков десятиричного или двенадцатиричного календарного цикла, который мы передаем буквами А, Б, В и т.д.