Теория Автоматизированного управления

.

           По мере удаления от сопрягающей частоты влево  или вправо она снижается и на расстоянии 0,3 декады от сопрягающей частоты уменьшится примерно в 3 раза:

.

     Также можно показать, что на расстоянии 0,5 декады от сопрягающей частоты погрешность уменьшится более, чем в 7 раз, а на расстоянии более декады от сопрягающей частоты будет пренебрежимо мала.

     Отметим также некоторые свойства графика  ЛФЧХ, соответствующего выражению  arctgwT. Так как данное выражение входит в состав выражений для ЛФЧХ большинства более сложных звеньев и систем, эти свойства могут быть использованы для их приближенного анализа.

     При w®0 асимптотой графика ЛФЧХ является горизонтальная прямая, проходящая через отметку 0°. При w®¥ асимптота – горизонтальная прямая, проходящая через отметку 90°.

       На  сопрягающей частоте 1/T значение ЛФЧХ составляет 45°. Эта точка является центром симметрии всего графика (рис.10).

        Полезно знать  также следующие численные значения.

       На  расстоянии 0.3 декады от сопрягающей частоты ЛФЧХ получает приращение примерно ±18,5°, и ее значения составляют 26,5° и 63,5°.

       На  расстоянии 0.5 декады от сопрягающей  частоты ЛФЧХ получает приращение примерно ±27,5°, и ее значения составляют 17,5° и 72,5°.

       При удалении от сопрягающей частоты на декаду значение ЛФЧХ изменяется на 39.5° и составляет слева 5.5° и справа от сопрягающей частоты 84.5°.

       На  больших расстояниях от сопрягающей  частоты значения ЛФЧХ изменяются медленно. В ряде случаев при приближенном анализе системы на частотах w<0.1/T  (на декаду и более левее сопрягающей) можно пренебречь значением arctgwT, а на частотах w>10/T (на декаду и более правее сопрягающей) можно приближенно принять arctgwT »90°. 

     8. Апериодическое звено 1-го порядка:

,

,

,

.

 Примем сначала  K=1. Рассмотрев, аналогично предыдущему примеру, низкие и высокие частоты, разделенные их сопрягающей частотой w_с=1/T, нетрудно получить асимптотическую ЛАХ (рис.11). Единственное отличие от предыдущего примера будет состоять в противоположном наклоне второго участка. Он составит –20 дБ/дек.

      Слагаемое 20lgK на всех частотах является константой. Следовательно, при K¹1 весь график сместится вверх при K>1 (20lgK >0), а при K<1 – вниз (20lgK <0).

           Оценка погрешности  асимптотической ЛАХ по отношению  к точной аналогична полученной в предыдущем примере (рис.12).

      Все результаты, полученные для ЛФЧХ, также сохраняются  с учетом противоположного знака (рис. 12).

 
 

     9. Апериодическое звено второго порядка (T₁= T₂= T):

,

,

,

.

      Сравнивая выражения для ЛАХ, полученные в  рассматриваемом и предыдущем примерах, можно сделать вывод о том, что различие в асимптотических ЛАХ будет состоять только в наклоне второго участка. Он увеличится в 2 раза и составит –40дБ/дек.

     Максимальная  погрешность асимптотической ЛАХ  по отношению к точной в соответствии с принципом получения асимптотической ЛАХ также, очевидно, будет иметь место на сопрягающей частоте.

           Значение асимптотической  ЛАХ на сопрягающей частоте: L_ас(1/T)=20lgK.

     Значение  точной ЛАХ на сопрягающей частоте: 

      

.

     Абсолютная  величина погрешности составит дБ.

           График ЛФЧХ и закономерности изменения ее значений будут аналогичны предыдущему примеру с учетом масштабного коэффициента 2.

       Характеристики  показаны на рис.13. 

           В общем случае для  звена с передаточной функцией W(s)=K(Ts+1)^m, где m=0, ±1, ±2, … получим следующие соотношения:

,

,

.

           Отметим следующие  закономерности:

     - величина сопрягающей частоты,  разделяющей участки асимптотической  ЛАХ, w_с=1/T,

     - первый участок асимптотической  ЛАХ горизонтален и проходит на уровне 20lgK (при K=1совпадает с горизонтальной осью),

     - наклон второго участка 20^.m дБ/дек,

     - абсолютная величина погрешности  асимптотической ЛАХ по отношению к точной максимальна по сопрягающей частоте и составляет 3^.m дБ,

     - значение ЛФЧХ монотонно изменяется от 0° (при w®0) до 90°×m (при w®¥); на сопрягающей частоте ее значение составляет 45°×m; эта точка является точкой симметрии всего графика ЛФЧХ. 

     10. Колебательное звено:

,  0< x<1,

,

,

,

Рассмотрим  построение асимптотической ЛАХ.

      Под корнем в выражении для ЛАХ  здесь присутствует несколько слагаемых. Тем не менее, принцип построения сохраняется. Сопрягающая частота находится из условия равенства двух слагаемых – содержащих низшую и высшую степень частоты:

, .

      На  низких частотах, w<<1/T, всеми слагаемыми, содержащими произведение wT, можно пренебречь по сравнению с единицей (wT<<1). В результате выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

      Это уравнение горизонтальной прямой –  асимптоты точной ЛАХ при w®0.

      На  высоких частотах, w>>1/T, под корнем можно пренебречь всеми слагаемыми, кроме содержащего высшую степень частоты. Выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

       Это выражение  для прямой с наклоном –40дБ/дек, причем при wT=1, то есть на сопрягающей частоте она проходит через точку с вертикальной координатой 20lgK. Эта прямая является асимптотой точной ЛАХ при w®¥. Здесь, как и в предыдущих примерах, асимптоты ЛАХ пересекаются на сопрягающей частоте (рис.14), что является общим правилом.

      Закономерность  формирования погрешностей асимптотической  ЛАХ для колебательного звена  является более сложной, чем в предыдущих примерах.

      Прежде  всего, оценим величину этой погрешности  на сопрягающей частоте. Для асимптотической ЛАХ получим:

.

      Для точной ЛАХ:

.

      Величина  погрешности  зависит от величины x и изменяется от –6 дБ при x®1 до сколь угодно больших положительных значений при x®0.

      Этот  эффект обусловлен резонансными свойствами колебательного звена и в общем  случае не позволяет при его анализе  ограничиваться использованием только асимптотической ЛАХ.

      Точные  ЛАХ колебательного звена для  различных значений x показаны на рис.14.

      Из  рис.14 видно, что резонансная частота, доставляющая максимум ЛАХ, отличается от сопрягающей. Резонансная частота w_р может быть найдена из условия:

.

      Общие рекомендации по использованию асимптотической  ЛАХ для рассматриваемого примера сводятся к следующему:

     - при больших значениях x, когда резонансный пик отсутствует или не превышает величины 3дБ, допустимо использование асимптотической ЛАХ;

     - при малых x, когда высота резонансного пика превышает 3дБ, должна использоваться точная ЛАХ.

      Значение x, обеспечивающее получение резонансного пика величиной 3дБ, после определения w_р, может быть получено из условия:

.

      Рекомендуется найти w_р и величину x, обеспечивающую величину резонансного пика 3дБ, самостоятельно, а также убедиться в их независимости от параметров K и T.

       Логарифмические фазо-частотные характеристики для  различных x показаны на рис.15.  

      Рассмотрим  правила построения асимптотических  ЛАХ для более сложных передаточных функций на следующем примере:

,

где K=100с^-2, T₁=0.1с, T₂=10с, T₃=1с, T₄=0.01с.

           Выражения для АЧХ  и точной ЛАХ будут иметь вид:

,

.

           Наиболее распространенная в литературе рекомендация сводится к рассмотрению выражения для ЛАХ сложного звена как суммы выражений для ЛАХ рассмотренных выше звеньев, каждому из которых соответствует одна сопрягающая частота. При K=1 график асимптотической ЛАХ такого звена представлял бы собой кусочно-линейную характеристику, состоящую из низкочастотной асимптоты по горизонтальной оси и высокочастотной асимптоты с соответствующим наклоном, пересекающихся на сопрягающей частоте. Если общее выражение для ЛАХ записывать так, чтобы в отдельных слагаемых под знаком логарифма оставались выражения вида , то наклоны таких асимптот будут совпадать по величине с коэффициентами при . Результирующий график асимптотической ЛАХ может быть получен сложением графиков отдельных слагаемых.