Системы счисления, переводы чисел

      История развития двоичной системы счисления  – одна из ярких страниц в истории  арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с  именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. До начала тридцатых годов XX  века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены во Франции и Германии. Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой, написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументировано обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики. 

     2.3. Восьмеричная система счисления.

     Использует  восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также  символы «+» и  «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

     2.4. Десятеричная система счисления.

     Использует  десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и  «–» для обозначения знака  числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Существует массовое заблуждение, будто  именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания – 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления ( 1 – единица, 10 – десяток, 100 – сотня, 1000 – тысяча, 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – миллион ), но предпоследние два из них (легион и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) – названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках – аналогичная ситуация.

     2.5. Шестнадцатеричная система счисления.

     Использует  шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Глава 3. Представление чисел в ЭВМ. 

      3.1  Представление чисел  с фиксированной  и плавающей запятой. 

     При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде  записываются цифры 0 или 1. Так как в ЭВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЭВМ.

В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЭВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЭВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЭВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

      В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: полулогарифмическая – с плавающей запятой и естественная – с фиксированным положением запятой.

      При представлении чисел с фиксированной  запятой положение запятой закрепляется  в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех  чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в  разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором – только целые числа.

      Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности при программировании. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах.

      В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Широкий диапазон представления чисел с плавающей  запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

      Рассмотрим  подробнее эти два формата. 

      3.2  Числа с фиксированной запятой. 

      Формат  для чисел с запятой, фиксированной  перед старшим разрядом. В этом формате могут быть с точностью до   представлены числа (правильные дроби) в диапазоне

       .

      Первые  ЭВМ были машинами с фиксированной  запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время, как правило, форму с фиксированной запятой применяют для представления целых чисел (запятая фиксирована после младшего разряда).

      Используют  два варианта представления целых  чисел: со знаком и без знака. В  последнем случае все разряды разрядной сетки служат для представления модуля числа. В ЕС ЭВМ применяются оба указанных варианта представления целых чисел, причем каждый из вариантов реализуется как в формате 32-разрядного машинного слова этих машин, так и в формате 16-разрядного полуслова.

      При выполнении арифметических действий над  правильными дробями могут получаться  двоичные  числа,  по  абсолютной  величине больше или равные единице, что называется переполнением разрядной сетки. Для исключения возможности переполнения приходится масштабировать величины, участвующие в вычислениях.

      Достоинство представления чисел в форме  с фиксированной запятой состоит  в простоте выполнения арифметических операций.

      Недостатки  – в необходимости выбора масштабных коэффициентов и в низкой точности представления с малыми значениями модуля (нули в старших разрядах модуля приводит к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа). 

      3.3  Числа с плавающей запятой. 

      При использовании плавающей запятой  число состоит из двух частей: мантиссы m, содержащей значащие цифры числа, и порядка p, показывающего степень, в которую надо возвести основание числа q, чтобы полученное при этом число, умноженное на мантиссу, давало истинное значение представляемого числа:

                        (5.1)

      Мантисса  и порядок представляются в двоичном коде. Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является правильной дробью, причем первая значащая цифра (единица) следует непосредственно после запятой: например, где m=0,1010; p=10; q=2

      Порядок указывает действительное положение  запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: .

      Точность  представления значений зависит  от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля мантиссы лежит в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

      Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой  представляют значения модуля в диапазоне:

          ,

где – максимальное значение модуля порядка.

      Так, при p=7 –1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел:

       ,

                                             

      Таким образом, диапазон чисел:

            

      Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине  разрядной сетки (m+p) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетке, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16-ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне . Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до . 

         m     m – 1                                                                 1          p       p – 1                                   1

        

      Знак                                      Модуль мантиссы                            Знак                Модуль порядка