Решение задач линейного программирования

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ  ОБРАЗОВАНИЯ

«БРЕСТСКИЙ  ГОСУДАОСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Кафедра информатики и прикладной математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

на тему

«РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ»

по  дисциплине «Системный анализ и исследование операций» 
 
 

      Выполнил  студент 
 
 
 

      Допущен к защите 
 
 
 

      Результаты  защиты 
 
 
 
 
 
 
 
 

БРЕСТ 2009 

СОДЕРЖАНИЕ 
 

Введение………………………………………………………………………………

Постановка  задачи оптимизации……………………………………….

ПОСТРОЕНИЕ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ………………………………...

Обоснование выбора метода решения  задачи……………………

Решение задачи оптимизации…………………………………………….

АНАЛИЗ  МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ………

                   Предварительный анализ оптимального решения………………...

                   Исследование чувствительности целевой функции………………..

                   Исследование устойчивости  оптимального базисного плана……..

ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ………………..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………….

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………. 
 
 

 

                                         

  Введение 

    Исследование  операций изучает хорошо структурированные  задачи. Хорошо структурированная задача – задача, для которой существует математическая модель с одним критерием качества. Математическая модель – отражение интересующих нас свойств объектов или явлений с помощью математических символов.

    Цель, которую преследуют в процессе исследования операций (ИО), заключается в том, чтобы выявить наилучший (оптимальный) способ действия при решении той  или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера. Когда используют термин исследование операций, то почти всегда имеют в виду применение математических методов для моделирования систем и анализа их характеристик. Действительно, математические модели и методы занимают в исследовании операций центральное место.

    Исследование  операций можно рассматривать и  как науку, и как искусство. Правомерность  утверждения о научности вытекает из того обстоятельства, что при решении возникающих проблем эффективно используются математические модели и методы. Исследование операций можно рассматривать и как искусство, поскольку успешное выполнение всех этапов исследования во многом определяется творческими способностями и интуицией исследователей. Поэтому при сборе информации, необходимой для построения математической модели, верификации модели и использовании получаемых с помощью модели результатов успех, несомненно, зависит от способности исследователей устанавливать рабочие контакты как с источниками необходимой информации, так и с лицами, ответственными за реализацию принимаемых решений.

    Математическая  модель – отображение оригинала  в виде математических объектов, переменных, функций, уравнений и неравенств.

    В простейшем случае математическая модель содержит три объекта:

1. совокупность неизвестных величин xi, i=1..n, значения которых необходимо найти. В совокупности эти значения образуют множество решений.
2. множество допустимых решений которые могут принимать xi, i=1..n. В хорошо формализованных задачах это множество может быть описано с помощью системы неравенств  gj(x1, x2 , .. , xm)<=0, j=1..m.
3. оценка качества допустимого решения. В простейшем случае оценка качества осуществляется с помощью специальной функции f(x1,x2,…,xn), которую называют целевой функцией.

    В зависимости от ситуации необходимо найти такое допустимое решение, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение:

    f(x1,x2,…,xn)à extr(max,min)

    g_i(x1,x2,…,xn)<= 0, i=1..n, где  g – ограничение целевой функции.

    Такая задача в которой множество решений может быть описано с помощью системы функциональных равенств и неравенств, называется задачей математического программирования. . Для решения задач этого типа разработан специальный раздел математики, который называется математическим программированием.

    Но  не всегда удается сформулировать ограничение  задачи в виде совокупности равенств или неравенств. Не всегда удается  сформулировать цель в виде одной  целевой функции, поэтому в общем случае математическая модель задачи может выглядеть более абстрактно:

Имеется множество допустимых решений  X.Имеется совокупность критериев K{K₁, K₂,..., K_n} с помощью которых производится оценка качества решений X. Требуется найти такое решение xÎX, которое является наилучшим с точки зрения критериев K₁, K₂,..., K_n. Такая задача и будет называться задачей исследования операций.

Классификация задач исследования операций.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Детерминированные задачи — задачи, которые не содержат в себе элементов случайности.

Задачи  дискретного программирования   отличаются от задач математического программирования тем, что в задачах дискретного программирования   на значения переменных x_i накладывается требование дискретности, т.е. x_i может принимать не любые значения из диапазона (a, b), а из множества конкретных фиксированных значений а₁, а₂, ..., а_k. Простейшим примером является требование целочисленности.  

К задачам  динамического программированию  относятся задачи, которые являются многошаговыми или могут быть сведены к многошаговым задачам. Примером многошаговых задач могут являться задачи планирования на несколько месяцев или лет.

Стохастические  задачи — задачи, которые содержат в своей постановке вероятностные элементы.

 До недавнего времени теория очередей сводилась всего к трем законам:

1). Соседняя очередь всегда движется быстрее  
2). Как только вы переходите в соседнюю очередь, ваша прежняя начинает двигаться быстрее. 

3). Ваше метание из одной очереди в другую взвинчивает обе очереди.                                  Теперь же теория очередей развилась в самостоятельный раздел математики — теорию массового обслуживания. В  математическом программировании все функции (и целевая, и функция ограничений) являются линейными.

Если  хотя бы одна из функций нелинейная, то такая задача относится к нелинейному программированию.

Выпуклые  задачи — это задачи, в которых целевая функция и функции ограничений обладают специальными свойствами выпуклости или вогнутости. Достоинством задач выпуклого программирования является то, что если решение существует, то оно единственно.

В выпуклом программировании выделяют специальный  класс более простых задач, которые  называются квадратичным программированием. Эти задачи близки к линейным задачам. Как правило у них линейная система ограничений, но в целевую функцию могут входить вторые степени переменных, а так же их произведения.

 
 
 
 
 
 

 

1. Постановка  задачи оптимизации

 
 

 
 
 
 
 
 
 

      
 
 
 
 

                  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. ПОСТРОЕНИЕ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 

     Для перевозки грузов на трёх линиях могут  быть использованы суда трёх типов. Необходимо определить какие суда и в течение какого следует использовать, чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учётом возможного времени их эксплуатации.

      Пусть

-количество дней работы судов 1 типа на 1 линии

-количество дней работы судов 2 типа на 1 линии

-количество дней работы судов 3 типа на 1 линии

-количество дней работы судов 1 типа на 2 линии

-количество дней работы судов 2 типа на 2 линии

-количество дней работы судов 3 типа на 2 линии

-количество дней работы судов 1 типа на 3 линии

-количество дней работы судов 2 типа на 3 линии

-количество дней работы судов 3 типа на 3 линии 

Общее время  эксплуатации судов берётся из таблицы. Общее время эксплуатации должно быть не больше суммарного времени  работы судов на всех трёх линиях. Отсюда следуют следующие ограничения: 

        (2.1) 

Так же у каждого из судов есть производительность. Она отличается в зависимости  от типов судов и от линий.  Так же есть заданный объём перевозок(таблица 1). Запишем следующие ограничения: 
 

       (2.2) 

Т.к.  нам надо определить такое распределение  судов при котором загрузка будет  максимальной, то целевая функция  будет на максимум.

Исходя  из этих данных запишем целевую функцию: 

L(x)=     (2.3) 

Математическая  модель задачи будет выглядеть следующим  образом

 

                                    (2.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Обоснование выбора метода решения задачи

 

    Любая задача линейного программирования может быть представлена в канонической и симплексной форме. В симплексной  форме задача разрешена относительно базисных переменных.

    Анализ  задачи в симплексной форме позволяет  сделать вывод: если коэффициенты отрицательные, то базисный план соответствует форме задачи линейного программирования, является наиболее оптимальным, поскольку любое изменение небазисных переменных (их увеличение) будет приводить к ухудшению целевой функции.