Расчет балки на изгиб методом начальных параметров средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ГОРНЫЙ»

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

По дисциплине:                                  Информатика

   

Пояснительная записка

 

Тема:  «Расчет балки на изгиб методом начальных параметров средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD».

 

 

 

 

Автор: студент гр.   Н##-13             _________________            /                                /

                        (подпись)           (Ф.И.О.)

 

 

 

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

 

 

ПРОВЕРИЛ

Руководитель проекта   Доцент         ________________               /Чиргин А.В. /

        (должность)                          (подпись)                                                            (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ГОРНЫЙ»

 

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

/  доцент  //Маховиков А.Б./

"1"   сентября  2014г.

 

 

Кафедра информатики и компьютерных технологий 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По дисциплине:                                      Информатика____

                                                              (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

 

 

 

ЗАДАНИЕ

 

Студенту группы              Н##-13  /                       /

                                                                (шифр группы)        ( Ф.И.О.)

 

1. Тема работы: Расчет балки на изгиб методом начальных параметров средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD

2. Исходные данные  к проекту: Данные по 11 варианту.

3. Содержание пояснительной  записки: В соответствии с методическими указаниями.

4.Перечень графического материала: Рисунок задания, эпюры, таблицы из MO Excel 2003, фрагменты листа MathCAD с решением. 

5. Дата защиты  законченного курсового проекта              _  _____________

 

 

6. Руководитель проекта     Доцент                ___________         / Чиргин А.В. /

                                                        (должность)                              (подпись)                                  (Ф.И.О.)

 

 

7.Задание принял к исполнению студент     ___________          /                               /

                                                                                                            (подпись)                                  (Ф.И.О.)

Дата выдачи задания     “        ”                       2014 г.

Аннотация

В работе выполнен расчет балки, свободно опертую на концах, выполненной из одного материала и нагруженной на части длины равномерной нагрузкой. Методом начальных параметров получены выражения для вычисления прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы точек оси балки. Для получения численных значений искомых величин по этим выражениям проведен расчет и построены эпюры исследуемых величин средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD, а так же разработан проект в среде создания Windows – приложений.

Работа содержит 26 стр., 19 рисунков, 2 таблицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Summary

We have performed a calculation of the beam, freely supported at the ends, made of the same material and the loaded part of the length uniform load. The method of initial parameters, expressions for the calculation of the deflection angle, bending moment and shear force points of the axis of the beam. To obtain the numerical values ​​of the unknown quantities in these expressions were calculated and plotted diagrams of the investigated variables means spreadsheet Microsoft Excel and mathematical calculations package MathCAD, and developed a project in the creation of Windows-based applications

Work contains  pages, figures, tables.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Повсеместное внедрение компьютеров в инженерную практику предопределяет проведение различных расчётов, в частности, балок на изгиб с использованием компьютерных технологий. Это значительно уменьшает время, расходуемое на выполнение вычислительных операций, помогает избежать вычислительных ошибок и может использоваться при повторных расчётах. Широкое применение программ обработки электронных таблиц во многом объясняется универсальными возможностями их применения, поскольку без вычислений в широком смысле этого слова, не обойтись в самых разных сферах нашей жизни. Благодаря наличию мощных математических и инженерных функций в Microsoft Excel можно решать множество задач в области естественных и технических наук. Применение табличного процессора Microsoft Excel позволяет автоматизировать как расчёт определяемых характеристик, так и построение их эпюр. Этот программный пакет достаточно широко распространён в инженерной среде благодаря большим вычислительным возможностям, наличию вспомогательных приёмов наряду с простотой использования [3]. В литературе встречаются указания на применение электронных таблиц Microsoft Excel для решения задач маркшейдерии [7], гидрогеологии [8] и строительной механики[9].

 Совокупность методов, служащих для определения внутренних сил и выбора по ним прочных размеров частей сооружений и машин, составляет сущность инженерной дисциплины «Сопротивление материалов». Ясно, что они являются одной из главных составляющих в образовании инженеров любой строительной или механической специальности. Изучение изгиба представляет собой большую и сложную задачу, в которой немалую роль занимает этап исследования изогнутой оси балки и определение прогибов в наиболее характерных точках. Напряжения, возникающие в различных сечениях балки, зависят от величины изгибающего момента M и перерезывающей силы Q в соответствующих сечениях. При исследовании балок нужно знать величины M и Q в любом сечении. Изменение этих величин по всей длине балки удобнее всего представлять графически. Линию, параллельную оси балки, принимают за ось абсцисс и строят два графика, ординаты которых изображают соответствующие значения M и Q для каждой точки оси балки. Эти графики называются эпюрами изгибающих моментов и перерезывающих сил. Для построения эпюр используют разные методы: по определённым опорным реакциям, способ сложения действия сил, непосредственное интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, метод начальных параметров [10-12].

 Целью выполняемой  работы является расчёт методом  начальных параметров балки длиной 4,9 метра, выполненной из одного  материала, со свободно опертыми  концами, нагруженной гидростатической  нагрузкой 90 килоньютон (рис. 1).

Рис. 1. Схема задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение поставленной задачи

1.Метод начальных параметров  при расчёте балок на изгиб

В качестве исходного в методе начальных параметров принимается обыкновенное дифференциальное уравнение изгиба оси балки четвёртого порядка:

,          (1.1)

где – жёсткость балки, - прогиб, - нагрузка, приложенная к балке.

Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки и внешней нагрузкой. И оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному её статическому расчёту и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения (1.1) имеет вид:

,     (1.2)

,     (1.3)

где C1, C2, C3, C4 – произвольные постоянные интегрирования, - частное решение неоднородного уравнения (1.1), вычисляемое по формуле:

.       (1.4)

Суть метода начальных параметров заключается в том, что в произвольных постоянных интегрирования C1, C2, C3, C4 содержится физический смысл, заключающийся в том, что прогиб в начале координат есть постоянная С4, уменьшенная в раз, т. е. ; угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная С3, уменьшенная в раз, т. е. ; изгибающий момент в начале координат есть постоянная С2 с противоположным знаком , перерезывающая сила – постоянная С1 с противоположным знаком . Вводя обозначения , , , приходим к выражению для определения прогиба в любой точки оси изогнутой балки:

     (1.5)

Данное решение обыкновенного дифференциального уравнения изогнутой балки вместо постоянных интегрирования C1, C2, C3, C4 содержит начальные параметры , , , , которые также являются произвольными постоянными, однако, в отличие от C1, C2, C3, C4 наделены ясным физическим смыслом: они представляют собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу в начале координат. Если начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчётов, то указанные величины представляют собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу на левом конце балки. Последнее слагаемое формулы (1.5) выражает влияние внешней нагрузки, приложенной к балке. Выражения для разного вида нагрузки балки приведены в таблице 1.

Таблица 1

Выражения неоднородного решения в зависимости от вида приложенной внешней нагрузки

Тип нагрузки	Схема
Сосредоточенная нагрузка
Равномерно распределённая нагрузка
Равномерно распределённая на части балки
Равномерно распределённая на центральной части балки

 

 

Продолжение табл. 1

Сосредоточенный момент
Гидростатически распределённая от левого конца
Гидростатически распределённая на части балки
Гидростатически распределённая от правого конца
Распределённая квадратично на части балки
Распределённая квадратично по длине балки

 

Подставляя соответствующее приложенной нагрузке выражение в выражение (1.5), приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки с точностью до четырёх начальных параметров. Для определения четырёх постоянных служат граничные условия, которые для типичных случаев имеют вид (табл. 2).

 

Таблица 2

Граничные условия

Характер опоры	Условие на конце балки	Граничное условие уравнения
Жёсткое закрепление	Прогиб и угол поворота равняются нулю
Свободный конец	Изгибающий момент и перерезывающая сила равны нулю
Шарнирно опёртый конец	Прогиб и изгибающий момент равны нулю

 

Два из четырёх параметров определяются сразу же из граничных условий, поставленных на левом конце балки. Для двух других начальных параметров необходимо сформулировать два граничных условия на другом её конце. После определения всех четырёх неизвестных постоянных, полностью найден прогиб балки. Первая производная по позволяет получить выражение для угла поворота оси балки. Для вычисления изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопромата:

,

         (1.6)

т. е. нужно продифференцировать выражение для прогиба (1.5) по .

Если к балке приложены несколько нагрузок разного типа одновременно, то нужно суммировать все члены, отражающие эти нагрузки в выражении (1.5).

 

 

 

 

 

 

 

2.Применение метода начальных  параметров к поставленной задаче

Задана балка, выполненная из одного материала, с закреплённым левым концом и свободным правым концом и нагруженная на части её длины гидростатической нагрузкой. Решение в общем виде имеет вид (1.5). Для рассматриваемого случая нагружения примет вид:

                                    (2.1)

Выражение (1.5) для определения прогиба принимает вид:

  (2.2)

Выражения для определения угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы получаются дифференцированием соотношения (2.2):

   (2.3)

   (2.4)

     (2.5)