Программа нахождения минимума функции двух переменных

     h_{1 k}=h_{1 k} r.                                                 (8)

Вычисления прекращаются, если размер шага по всем аргументам становится меньше d-заданное или количество вычислений функции F становится больше m₂.

Метод квадратичной интерполяции-экстраполяции.

При использовании  метода квадратичной интерполяции-экстраполяции в качестве интерполяционной функции на каждом отрезке [x_i-1, x_i+1] принимается квадратный трехчлен. Уравнение квадратного трехчлена:

y=a_ix² + b_ix+c_i, x_i-1£x£x_i+1 (9)

содержит коэффициенты a_i, b_i, c_i для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия для прохождения параболы (1) через три точки (x_i-1, y_i-1), (x, y_i), (x_i+1, y_i+1). Эти условия можно записать в виде:

a_ix_i-1² + b_ix_i-1 + c_i = y_i-1 

                                     a_ix_i² + b_ix_i + c_i = y_i                        (10)

a_ix_i+1² + b_ix_i+1 + c_i = y_i+1 

Отсюда находятся коэффициенты a_i, b_i, c_i:

,           (11)

,   (12)

где h=(x_i+1-x_i+1)/2.

Таким образом, абсцисса точки минимума

x_m=-b/(2c)      (13)

 Интерполяция для любой точки  проводится по трем ближайшим  к ней узлам. 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Алгоритмизация задачи

 

В соответствии с постановленной в разделе 2 задачей  целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим  подпрограммам из головной программы.

Алгоритм  работы головной программы следующий:

1. Скрыть курсор с использованием подпрограммы - процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения о назначении программы, исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы - процедуры заставки.
2. Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии  любой клавиши .
3. Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием  строки-подсказки о возврате в меню.
4. Запустить подпрограмму-процедуру ввода  начальных условий: h-начального шага,  (x_1, x_{2 ,} x₃ )-начальных значений и точности результата-e. 
5. Запустить подпрограмму-процедуру поиска минимума функции и вывода результатов вычислений, а также строки-подсказки о возврате в меню.
6. Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».

 

Алгоритм нахождения минимума функции методом координатного спуска в подпрограмме-процедуре включает следующие шаги:

1. Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления.
2. В подпрограмме-процедуре организовать ввод значений: начального шага поиска(δ=h), точности результата(е), в цикле ввести начальные значения x_i (i=1…2);
3. Вычислить значения функции в подпрограмме-функции в начальных заданных точках F(X₁+h,...,X_i,...,X_n);
4. Проверяем условие : если F(X₁,...,X_i,...,X_n)- F(X₁+h,...,X_i,...,X_n)<0, то переходим к п.4 и увеличиваем следующее начальное значение на шаг h: x_i=x_i+h;
5. Если не выполняется п.5, то меняем знак на противоположный и уменьшаем шаг на коэффициент R: h:=-h/R;
6. Проверяем условие: если |h|>e/5 , то идём к п.5;
7. Вывести результаты вычислений в том же окне;
8. Вывести в окне запрос о переходе к меню;

 

Алгоритм нахождения минимума функции методом квадратичной интерполяции-экстраполяции в подпрограмме-процедуре включает следующие шаги:

1.Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления.

2. В подпрограмме-процедуре организовать ввод значений: начального шага поиска(δ=h), точности результата(е), в цикле ввести начальные значения x_i (i=1…2);

3.   Организовываем цикл

     for i:=1 to n do

4. Вычисляем  два смежных  значения  аргумента F(x): x₀=x_i-h и x₂=x_i+h.
5. Вычисляем три значения F(x): F(x₀)=F₀ , F(x_i)=F_i и F(x₂)=F₂.
6. Вычисляем коэффициенты:

C=1/2h²*(F₀-2F_i+F₂),

D=((-F₀(2x_i+h)+4F_ix_i-F₂(2x_i-h)))/2h²,

и по ним  вычисляем аналитически положение  экстремума:

x_mi=-D/2C; 

7. Проверяем условие (x_mi-x_i)<E_. Если оно выполняется , задаём xi=x_mi и идём к п.3. Если выполняется то считаем x_mi найденным с заданной точность E, вычисляем F(x_m) и останавливаем счет.
8. Вывести результаты вычислений в том же окне;
9. Вывести в окне запрос о переходе к меню;