Показатели надежности восстанавливаемого объекта

   

  

   P₀(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

   P₁(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

   Система дифференциальных уравнений:  

 

 

   Начальные условия: при t = 0 P₀(t = 0) = P₀(0) = 1; P₁(0) = 0, поскольку состояния S₀ и S₁ представляют полную группу событий, то   

 

 

   Выражая P₀(t) = 1 - P₁(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P₁(t):  

 

 

   Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

   Преобразование  Лапласа для вероятностей состояния  P_i(t):  

   

  

   т. е. P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

   Преобразование  Лапласа для производной dP_i(t)/dt:   

   

  

   После применения преобразования Лапласа  к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:   
 

 

 

   где L{ } = L{1} = /S .

   При P₁(0) = 0  

   SP₁(S) + P₁(S)(

+  ) = /S.

   P₁(S)( S +

+  ) = /S,  

   откуда  изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном  состоянии:  

 

 

   Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:  

   

   

         

   Применяя  обратное преобразование Лапласа, с учетом:

   L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;  

   L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e^-at,  

   вероятность нахождения объекта  в неработоспособном  состоянии определяется:  

 

 

   Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна  

 

 

   С помощью  полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

   Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку  

   dP_i(t)/dt = 0.  

   Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

   При t алгебраические уравнения имеют вид:  

 

 

   Дополнительное  уравнение: P0 + P₁ = 1.

   Выражая P₁ = 1 - P₀ , получаем 0 =   P₀   -  (1 - P₀ ), или = P₀ ( +  ), откуда  

 

 

   Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

   - функция готовности Г(t), функция простоя  П(t)  

   Г(t) = P₀ (t);         П(t) = 1 - Г(t) = P₁(t).  

   - параметр потока отказов (t) по (4)   

    

(t) = P₀(t) = Г(t).  

   При t (стационарный установившийся режим восстановления)   

   

(t) = ( ) = = P0 = kг.с.  

   - ведущая функция потока отказов (t )  

   

  

   - средняя наработка между отказами (t )  

   t₀= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .  

   На  рис. приведено изменение вероятности  нахождения объекта в работоспособном  состоянии.  

  

   Рис. 1  

   Анализ  изменения P₀(t) позволяет сделать выводы:

   1) При  мгновенном (автоматическом) восстановлении  работоспособности          ( = )  

    

   

/ = 0  и   P0(t) = 1.  

   2) При  отсутствии восстановления ( = 0)  

   

/ =   и   P0(t) = e^{- t},  

   и вероятность  работоспособного состояния объекта  равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

   Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

   Метод дифференциальных уравнений может  быть использован для расчета  показателей надежности и невосстанавливаемых  объектов (систем).

   В этом случае неработоспособные состояния  системы являются «поглощающими» и  интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

   Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет  вид:  

  

   Система дифференциальных уравнений:  

   

  

   Начальные условия: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0.

   Изображение по Лапласу первого уравнения  системы:  

   

  

   После группировки:   

   

  

   откуда   

   

  

   Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:  

   

  

   3. Связь логической  схемы надежности с графом состояний   

   Переход от логической схемы к графу состояний  необходим:

   1)при  смене методов расчета надежности  и сравнении результатов;

   2) для  оценки выигрыша в надежности  при переходе от невосстанавливаемой  системы к восстанавливаемой.

   Рассмотрим  типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены  для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

   Для восстанавливаемых  систем в графах состояний добавляются  обратные стрелки, соответствующие  интенсивностям восстановлений .