Показатели надежности восстанавливаемого объекта

   Лекция 13

НАДЕЖНОСТЬ  ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ  ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

   1. Постановка задачи. Общая расчетная  модель  

   При расчете  показателей надежности восстанавливаемых  объектов и систем наиболее распространено допущение:

• экспоненциальное распределение наработки между отказами;
• экспоненциальное распределение времени восстановления.

   Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки  описывает функционирование системы  на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

   Применение  экспоненциального распределения  для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых  отказах представить анализируемые  системы в виде марковских систем.

   При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

   Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t₀ вероятность состояния системы в будущем (t > t₀) зависит только от состояния в настоящем (t  = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).  

 

 

   

 

    

   Для марковского  процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

   Марковский  процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

   При использовании  метода, в общем случае, для системы  S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S₁ , S₂ , … , S_n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

   Для рассмотрения принципа составления модели введены  допущения:

   - отказавшие  элементы системы (или сам рассматриваемый  объект) немедленно восстанавливаются  (начало восстановления совпадает  с моментом отказа);

   - отсутствуют  ограничения на число восстановлений;

   - если  все потоки событий, переводящих  систему (объект) из состояния  в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс  переходов будет марковским процессом  с непрерывным временем и дискретными  состояниями  S₁ , S₂ , … , S_n .

   Основные  правила составления  модели:

   1. Математическую  модель изображают в виде графа  состояний.

   Элементы  графа:

   а) кружки (вершины графа S₁ , S₂ , … , S_n ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

   б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S_i в другое S_j .

   Над/под  стрелками указываются интенсивности  переходов.

   Примеры графа:  

   

   

    

   S0 – работоспособное состояние;

   S1 – состояние отказа.

   «Петлей»  обозначаются задержки в том или  ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

   - исправное  состояние продолжается;

   - состояние  отказа продолжается (в дальнейшем  петли на графах не рассматриваем).

   Граф  состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы  S₁ , S₂ , … , S_n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

   2. Для  описания случайного процесса  перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний  

   P1(t), P2(t), … , P_i(t), … , Pn(t),  

   где P_i(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.  

   P_i(t) = P{S(t) = si}.  

   Очевидно, что для любого t  

 

 

   (нормировочное  условие, поскольку иных состояний,  кроме S₁ , S₂ , … , S_n нет).

   3. По  графу состояний составляется  система обыкновенных дифференциальных  уравнений первого порядка (уравнений  Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:  

 

   

   

   

    

   В общем  случае, интенсивности потоков _ij и _ij могут зависеть от времени t.

   При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

   а)  в левой части – производная по времени t от P_i(t);

   б) число  членов в правой части равно числу  стрелок, соединяющих рассматриваемое  состояние с другими состояниями;

   в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

   г) знак произведения положителен, если стрелка  входит (направлена острием) в рассматриваемое  состояние, и отрицателен, если стрелка  выходит из него.

   Проверкой правильности составления  уравнений является равенство нулю суммы  правых частей уравнений.  

   4. Чтобы  решить систему дифференциальных  уравнений для вероятностей состояний  P1(t), P_i(t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей

   P1(0), P_i(0), … , Pn(0),   при  t = 0,

   сумма которых равна единице:  

   

  

   Если  в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то P_i(0) = 1, а остальные равны нулю.  

   2. Показатели надежности  восстанавливаемых  систем  

   Все состояния  системы S можно разделить на подмножества:

   SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

   S_M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

   S = S_K

S_M ,

   S_K

S_M = 0.

   1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t   

   

  

   где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

   Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

   2. Функция простоя П(t) системы  

   

  

   3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются   

   

  

   Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dP_i(t)/dt = 0, т.к.    P_i = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:   

 

 

   и коэффициент  готовности:   

   

  

   есть  предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

   4.  Параметр потока отказов  системы  

 

 

   где _jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

   5. Функция потока отказов  

 

 

   6. Средняя наработка между отказами на интервале t  

 

 

   Примечание:             При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

   T₀= kг.с./

,

   где  ( ) = .  

   

  

   В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

   

= = 1/ T₀,

   а распределение  времени восстановления подчиняется  экспоненциальному распределению  с интенсивностью восстановления

   

= 1/ T_В ,

   где T0 – средняя наработка  между отказами;

   T_В – среднее время восстановления.