Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Марта 2011 в 00:36, курсовая работа

Описание работы

В данной курсовой работе рассматривается знаменитый метод Ньютона и его модификация решения систем нелинейных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Изучается сходимость основного и упрощенного методов Ньютона и метода, получаемого из метода Ньютона применением итерационного процесса для приближенного обращения матриц Якоби.

Содержание работы

1. МЕТОД НЬЮТОНА И ЕГО РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
1.2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ МЕТОДА НЬЮТОНА.
1.3. КРИТЕРИЙ ОКОНЧАНИЯ.
2. МЕТОД НЬЮТОНА И ЕГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
2.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.
2.2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА.
2.3. ТРУДНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ.
3. МОДЕФИКАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА.
3.1. УПРОЩЁННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА.
3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
3.3. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.
3.4. МЕТОД СЕКУЩИХ.
3.5. МЕТОД СТЕФФЕНСЕНА.
4. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
5. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ MATHCAD

Скачать архив (146.50 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 1 файл

курсовая. Численные методы.doc

— 586.00 Кб (Скачать файл)

Как и в одномерном случае методы секущих и Стеффенсена теряют устойчивость вблизи решения (фактически это происходит при попадании приближения в область неопределённости решения ). Поэтому при использовании этих методов важно вовремя прекратить выполнение итераций.

4. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

Начальное приближение:

Вектор-функция:

Матрица Якоби вектор-функции:

Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью :

k
0	0 -1	-0.841 0	-1.06 0.54 0 -2	-0.944 -0.255 0 -0.5	-0.794 -1	0.794>
1	-0.794 -1	0.295 0.63	-1.821 -0.221 -1.588 -2	-0.608 0.067 0.482 -0.553	-0.657 -0.794	0.247>
2	-0.657 -0.794	0.058 0.062	-1.48 0.12 -1.314 -1.588	-0.633 -0.048 0.524 -0.59	-0.617 -0.788	0.040>
3	-0.617 -0.788	-0.0000597 0.011	-1.441 0.159 -1.234 -1.588	-0.639 -0.064 0.497 -0.58	-0.616 -0.788	0.001=
4	-0.616 -0.788	0.000522 0.0004	-1.434 0.166 -1.232 -1.576	-0.639 -0.067 0.5 -0.582	-0.616 -0.788	0<

Ответ:

5. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ MATHCAD

Вводим вектор функцию:

Функция iter(x,y) вычисляет следующее приближение к корню по формуле Ньютона , где

Функция norma(x,y,x1,y1) вычисляет норму между текущим и следующим приближением:

Функция Newton(x,y,eps) находит решение системы уравнений с точностью до eps:

Найдем решение заданной системы нелинейных уравнений при начальном приближении x=0, y=-1, с точностью до 0.001:

Полученное решение совпадает с рассчитанным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был представлен метод Ньютона. Если оценивать качество метода по числу необходимых итераций, то следовало бы отметить, что этот метод стоит применять всегда, когда он сходится. Трудность использования метода Ньютона не только сохраняются при применении его к решению систем нелинейных уравнений, но и усугубляются из-за возникающей проблемы вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных, что само по себе может оказаться весьма сложным делом.

Существует большое число модификаций метода Ньютона, позволяющих в тех или иных ситуациях снизить его трудоёмкость либо избежать необходимости вычисления производных. Такие модификации были также рассмотрены в данной курсовой работе: упрощённый метод Ньютона, использования формул численного дифференцирования, метод ложного положения, метод секущих, метод Стеффенсена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г.

Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2000. – 440 с.

Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копчёнова Н. В.

Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. Школа, 1994. – 544 с.

Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З.

Численные методы анализа. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Гос. изд-во физ .-мат. Лит., 1963. – 400 с.

Информация о работе Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений