end; 

{Пpоцедуpа генеpации матpицы 7}

procedure Matrix7(var a0: matr0;var b:vect;m1,m2,n:integer);

begin

  clrscr;

{Данный алгоритм  производит формирование матрицы}

for i:=1 to n do begin

for j:=1 to n do begin

  if (j>i+m2) or (i>j+m1) then a0[i,j]:=0

  else begin

      if i=j then a0[i,j]:=0.01/((n-i+1)*(i+1));

      if i<j then a0[i,j]:=0;

      if i>j then a0[i,j]:=i*(n-j);

  end;

  write (a0[i,j]:6:2);

  end;

  writeln;

end; 

{Формирование  вектора b как суммы элементов  по строкам матрицы}

  for i:=1 to n do

    begin

    b[i]:=0;

    for j:=1 to n do

        b[i]:=b[i]+a0[i,j];

    end;

  write ('>...');

  readkey;

end;

procedure ProcA(n,m1,m2:integer;a:matr;b:vect);

var k,l,p,t: integer;

    sum: real;

begin

  for k:=1 to N-1 do begin

  l:=0;

  p:=1;

    for i:=k+1 to k+m1 do begin

  l:=l-1;

    a[i,l]:=a[i,l]/a[k,0]; 

    j:=1-p;

    for t:=1 to m2 do begin

      a[i,j]:=a[i,j]-a[i,l]*a[k,j+p];

      j:=j+1;

    end;

    p:=p+1;

    end;

    end; 
 

  for i:=1 to n do

  y[i]:=b[i]; 

  p:=m1;

  for k:=1 to n do begin

  sum:=0;

  for j:=-m1+p to -1 do

  sum:=sum+a[k,j]*y[k+j];

  p:=p-1;

  if p=-1 then p:=0;

  y[k]:=b[k]-sum

  end; 

  for i:=1 to n do

  x[i]:=y[i]; 

  for k:=n downto 1 do begin

  sum:=0;

  for j:=1 to m2 do

  sum:=sum+a[k,j]*x[k+j];

  x[k]:=(y[k]-sum)/a[k,0]

  end;

end; 

procedure ProcB(n,m1,m2:integer;a,a_l:matr;int:vect0;b:vect);

var retcode: integer;

procedure Bandecomp;

var

      z,p:real;

      i,j,k,l,imax:integer;

begin

l:=m+1;

for i:=1 to m1 do begin

for j:=l-1 to m2 do

a[i,j-1]:=a[i,j];

l:=l-1;

for j:=m2-l to m2 do

a[i,j]:=0;

end; 

l:=m1;

for k:=1 to n do

  begin

    z:=a[k,-m1];

    i:=k;

    if l<k then l:=l+1;

    for j:=k+1 to l do begin

      if abs(a[j,-m1])>abs(z) then begin

        z:=abs(a[j,-m1]);

        i:=j;

      end;

    end;

    int[k]:=i;

    if z<macheps then begin

      retcode:=1;

      exit;

    end;

    if i<>k then

      for j:=-m1 to m2 do begin

        p:=a[k,j];

        a[k,j]:=a[i,j];

        a[i,j]:=p;

      end;

    for i:=k+1 to l do begin

      z:=a[i,-m1]/a[k,-m1];

      a_l[k,i-k]:=z;

      for j:=1-m1 to m2 do

      a[i,j-1]:=a[i,j]-z*a[k,j];

      a[i,m1]:=0;

    end;

  end;

end; 

procedure  banslu;

var i,j,k,l: integer;

   p:real;

begin

l:=m1;

for k:=1 to n do begin

  i:=int[k];

  if i<>k then begin

    p:=b[k];

    b[k]:=b[i];

    b[i]:=p;

  end;

  if l<n then l:=l+1;

  for i:=k+1 to l do

  b[i]:=b[i]-a_l[k,i-k]*b[k];

end; 

l:=-m1;

for i:=n downto 1 do begin

    p:=0;

    for k:=1-m1 to m2 do

        p:=p+a[i,k]*b[k+i+m1];

    b[i]:=(b[i]-p)/a[i,-m1];

    if l<m2 then l:=l+1;

    end;

end;

begin

  retcode:=0;

  Bandecomp;

  if retcode=0 then Banslu

  else writeln ('Решение неуспешно!');

end; 

BEGIN 

clrscr;

writeln('1 - хорошо  обусловленная ленточная матрица');

writeln('2 - плохо обусловленная матpица N4');

writeln('3 - плохо обусловленная  матpица N7');

 writeln;

write('? ');read(m); 

  writeln('размер матрицы N - ');

  read(N);

  writeln('m1 (число  строк под диагональю) - ');

  read(m1);

  writeln('m2 (число  строк над диагональю) - ');

  read(m2);

    case m of

      1: GenMatr(a0,b,m1,m2,n);

      2: Matrix4(a0,b,m1,m2,n);

      3: Matrix7(a0,b,m1,m2,n);

    end; 

{Переписываем  матрицу в экономную схему}

writeln ('Экономная  схема размещения матрицы!');

 for i:=1 to n do begin

k:=-m2;

for j:=i-m1 to i+m2 do begin

   if (j<1) or (j>n) then a[i,k]:=0 else a[i,k]:=a0[i,j];

   write (a[i,k]:6:2);

   k:=k+1;

end;

writeln;

end; 

writeln;

retcode:=1; 

writeln('1 - решить  СЛУ методом Гаусса без выбора');

writeln('2 - решить СЛУ методом Гаусса с выбором ведущего элемента');

writeln;

write('? ');read(m);

gettime(hour0,minute0,second0,sot0); 

    case m of

      1: ProcA(n,m1,m2,a,b);

      2: ProcB(n,m1,m2,a,a_l,int,b);

    end; 

  for i:=1 to n do

  writeln ('x',i,'=',x[i]); 

{Погрешность}

    delta:=x[1];

    max:=x[1];

    for i:=2 to n do

      begin

        if max>x[i] then max:=x[i];

        if delta<x[i] then delta:=x[i];

      end;

    writeln('Погрешность - ',abs((delta-max)/max)*100);

{конечное время работы программы}

gettime(hour,minute,second,sot);

writeln('Время начала работы программы (мин:сек:сот): ',minute0,':',second0,':',sot0);

writeln('Конечное время (мин:сек:сот): ',minute,':',second,':',sot);

write ('>...');

 readkey;

END.

 

2.2. Расчет размера оперативной памяти для размещения переменных

 

Переменные основной программы. 

   a,a_l:matr; v=2*8*40²=25600

   a0: matr0;  v=8*40²=12800

   x,y,b:vect; v=3*40*8=960

   int: vect0; v=40*4=160

   retcode,i,j,k,N,m,m1,m2:integer; v=8*4=32

   macheps,max,delta:real;           v=3*8=24

   hour,minute,second,sot:word;         v=4*2=8

   hour0,minute0,second0,sot0:word;       v=4*2=8 

Процедуры и  функции. 

procedure GenMatr(var a0:matr0;var b:vect;m1,m2,n: integer);  v=12800+320+12=13132

var

  p: real;    v=8

   kod: integer;    v=4

procedure Matrix4(var a0: matr0;var b:vect;m1,m2,n:integer);    v=13132

procedure Matrix7(var a0: matr0;var b:vect;m1,m2,n:integer);    v=13132

procedure ProcA(n,m1,m2:integer;a:matr;b:vect);           v=13132

var k,l,p,t: integer;     v=16

    sum: real;            v=8

procedure ProcB(n,m1,m2:integer;a,a_l:matr;int:vect0;b:vect);   v=12+25600+160+320=26092

var retcode: integer;   v=4

procedure Bandecomp;

var

      z,p:real;   v=16

      i,j,k,l,imax:integer;    v=5*4=20

procedure  banslu;

var i,j,k,l: integer;    v=4*4=16

   p:real;     v=8 
 

Итого объем оперативной памяти  ≈  105192 б 
2.3. Инструкция для пользователей

 

     Программа формирует ленточную матрицу тремя различными способами: формированием хорошо обусловленной матрицы по последним цифрам номера зачетной книжки, формированием плохо обусловленной матрицы №4 и №7. После запуска программа спрашивает, каким способом создавать матрицу:

     1 – хорошо обусловленная матрица

     2 – плохо обусловленная матрица  №4

     3 - плохо обусловленная матрица №7

     ?_

     Затем задается порядок матрицы N, m1 – число диагоналей с ненулевыми элементами, расположенных под диагональю, m2 – число диагоналей с ненулевыми элементами, расположенных над диагональю, и, если нужно, код.

     Заданная  квадратная матрица преобразуется в экономную форму размещения матрицы от –m1 до m2 и выводится на экран.

     Затем  созданная ленточная система линейных уравнений решается  методом Гаусса 2 способами: без выбора ведущего элемента и с частичным выбором ведущего элемента.

     1 – решить СЛУ методом Гаусса  без выбора

      2 – решить СЛУ методом Гаусса  с выбором ведущего элемента

      ?_

Затем реализуется выбранный алгоритм Гаусса и, в случае удачного решения (retcode=1), выводится значение машинного нуля, вектор ответов, время начала работы алгоритма, время окончания работы и величина погрешности. 
2.4. Результаты тестирования программ с заданными входными данными

 

1. Результат формирования хорошо обусловленной системы при n=7,m1=1,m2=2

 

 

2. Результат решения системы методом Гаусса без выбора.

 

 
 

 

3. Вычислительные  эксперименты

3.1. Условия эксперимента

     В данной курсовой работе был проведен эксперимент по решению СЛУ с ленточной матрицей. Для этого были отлажены 2 процедуры

А) Процедура  решения системы  , где А – ленточная матрица порядка n с шириной ленты l. Применен метод исключения Гаусса без выбора ведущего элемента и экономная схема размещения в памяти ленточной матрицы.

Б) Аналогичная  процедура, которая использует частичный  выбор ведущего элемента.

     Программа формирует ленточную систему, которая хранится в памяти как система порядка n x m1+m2+1. Столбцы такой матрицы нумеруются от –m1 до m2 (нулевой столбец - диагональный).

     Для получения системы линейных уравнений были использованы различные способы:

1) генерация матрицы с помощью датчика случайных чисел Urand (kod), где kod формируется следующим образом: для получения первой хорошо обусловленной системы берут последнюю цифру года и две последние цифры номера зачетной книжки, для второй системы слева добавляют единицу, для третьей системы – две единицы.