Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения при исследовании химико-технологического процесса

      Все величины в этих формулах должны быть взяты из корреляционной таблицы.

      Уравнение прямой линии, относительно которой  наилучшим образом расположены  условные средние значения , а также отдельные точки с координатами , может быть найдено по формуле 

                                                                                           (1.3.4)

      Величины, входящие в уравнение (4), могут быть найдены по данным, объединённым в группы.

      При вычислениях по группированным данным величины и вычисляются по таким формулам:

                                          (1.3.5)

      Уравнение линейной регрессии может быть найдено методом наименьших квадратов. В случае двух переменных уравнение линейной регрессии представлено многочленом первой степени.

       .

      Неизвестные параметры  определяются методом наименьших квадратов, исходя из требования

       .

      Найдя частные производные данного  выражения по , и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений для определения неизвестных параметров и .

                                                                                   (1.3.6)

      Данная  система линейных алгебраических уравнений  может быть решена матричным методом  или методом Крамера.

      3) Вычисление коэффициента детерминированности

      Для количественной оценки соответствия теоретической  линии регрессии эмпирическим данным используется коэффициент детерминированности  , вычисляемый по формуле

       ,

      где и - суммы квадратов, вычисляемые соответственно по формулам:

                                                          (1.3.7)

      где - данные эмпирические значения признака ,

             - среднее арифметическое значение ,

             - теоретическое значение признака  , вычисленное при подстановке соответствующего значения в найденное уравнение регрессии.

      Обычно  коэффициент детерминированности  лежит между 0 и 1. Чем ближе этот коэффициент к 1, тем лучше найденная  линия регрессии представляет экспериментальные  данные, положенные в основу расчётов.

1.4 Разработка алгоритма решения задачи

      Чтобы решить поставленную задачу, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

      1) По результатам наблюдений двух измеримых признаков (X,Y) построить вспомогательную ( корреляционную ) таблицу, распределив значения X,Y на 5-6 интервалов. Найти условные средние значения , . Корреляционную таблицу можно построить вручную.

      2) Вычислить значение коэффициента корреляции по группированным данным, используя формулы.

      3) Найти уравнение регрессии, используя формулы.

      4) Найти уравнение регрессии методом наименьших квадратов.

      5) По данным значениям переменных построить точечную диаграмму, указать на ней линию тренда. При построении линии тренда с помощью вкладки «Параметры» показать на диаграмме уравнение линии тренда и величину R².

      6) Найти теоретические значения Y, подставив данные значения x_i в уравнение регрессии, найденное в пункте 3.

      7) Построить графики условных средних значений ( ) , а также график теоретических значений Y на одной диаграмме.

      8) Найти коэффициент детерминированности для уравнения регрессии, найденного в пункте 3.

      9) Найти коэффициент детерминированности для уравнения регрессии, найденного в пункте 3. 

 

2. Контрольный вариант

      Для того чтобы найти уравнение регрессии средствами MS Excel создадим сначала необходимые таблицы. В первую очередь необходимо рассчитать необходимые параметры для составления корреляционной таблицы.

      

Рис.1 Фрагмент окна Excel c табличными данными х и у. 

      

      Рис.2 Фрагмент окна Excel, отображающий максимальное и минимальное значения х и у.

Пояснения:

      1) В ячейки A22:A51 в ячейки B22:B51 вводим значения X и Y.

      2) Для расчёта средних значений  первоначальных данных X и Y в ячейку A52 вводим формулу =СУММ(A22:A51)/30, а в ячейку B52 вводим формулу =СУММ(B22:B51)/30.

      3) Чтобы рассчитать максимальное  и минимальное значение X, в ячейки B54 и B55 вводим формулы =МАКС(A22:A51) и =МИН(A22:A51) соответственно.

      4) Аналогично, чтобы рассчитать максимальное  и минимальное значение Y, в ячейки B57 и B58 вводим  формулы =МАКС(B22:B51) и =МИН(B22:B51) соответственно.

               Рис.3 Фрагмент окна Excel, отображающий исходные данные и корреляционную таблицу.

Пояснения:

      Используя начальные данные можно составить корреляционную таблицу.

      1) В ячейки C1:G1 и в ячейки A3:A7 вводим интервалы изменения исходных значений X и Y.

      2) В ячейки C2:G2 вводим середины интервалов по признаку X

       3 В ячейки B3:B7 вводим середины интервалов по признаку Y.

      4) В ячейку H3 вводим формулу =СУММ(C3:G3) и копируем её в ячейки H4:H7.

      5) В ячейку C8 вводим формулу =СУММ(C3:C7) и копируем её в ячейки D8:H8.

      6) В ячейку C9 вводим формулу =(B3*C3+B4*C4+B5*C5+B6*C6+B7*C7)/C8.

      7) В ячейку D9 вводим формулу =(B3*D3+B4*D4+B5*D5+B6*D6+B7*D7)/D8.

      8) В ячейку E9 вводим формулу =(B3*E3+B4*E4+B5*E5+B6*E6+B7*E7)/E8.

      9) В ячейку F9 вводим формулу =(B3*F3+B4*F4+B5*F5+B6*F6+B7*F7)/F8.

      10) В ячейку I3 вводим формулу =(C2*C3+D2*D3+E2*E3+F2*F3+G2*G3)/H3.

      11) В ячейку I4 вводим формулу =(C2*C4+D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4)/H4.

      12) В ячейку I5 вводим формулу =(C2*C5+D2*D5+E2*E5+F2*F5+G2*G5)/H5.

      13) В ячейку I6 вводим формулу =(C2*C6+D2*D6+E2*E6+F2*F6+G2*G6)/H6.

      14) В ячейку I7 вводим формулу =(C2*C7+D2*D7+E2*E7+F2*F7+G2*G7)/H7.

      

            Рис.4 Фрагмент окна Excel, отображающий вычисление среднего значения х и у и коэффициента групповой корреляции.

      

               Рис.5 Фрагмент окна Excel, отображающий вспомогательную таблицу для вычисления коэффициента корреляции.

Пояснения:

            1) В ячейку L2 вводим формулу

        =(C2*C8+D2*D8+E2*E8+F2*F8+G2*G8+H2*H8)/30.

      2) В ячейку M2 вводим формулу

       =(B3*H3+B4*H4+B5*H5+B6*H6+B7*H7+B8*H8)/30.

      3) В ячейки N2:N6 и в ячейки O2:O6 вводим соответствующие средние интервальные значения X и Y.

      4) В ячейку P2 вводим формулу =N2-$L$2 и копируем её в ячейки P3:P6.

      5) В ячейку Q2 вводим формулу =O2-$M$2 и копируем её в ячейки Q3:Q6.

      6) В ячейку R2 вводим формулу =P2*Q2, затем в ячейку R3 вводим формулу =P3*Q3 и т.д. до ячейки R6.

      7) В ячейку R8 вводим формулу =СУММ(R2:R6).

      8) В ячейку S2 вводим формулу =P2^2 и копируем её в ячейки S3:S6.

      9) В ячейку T2 вводим формулу =Q2^2 и копируем её в ячейки T3:T6.

      10) В ячейку W3 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$3-$M$2)*C3 и копируем её до ячейки АА3.

      11) В ячейку W4 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$4-$M$2)*C4 и копируем её до ячейки АА4.

      12) В ячейку W5 вводим формулу =(W2-$L$2)*($V$5-$M$2)*C5 и копируем её до ячейки АА5.

      13) В ячейку W6 вводим формулу = (W2-$L$2)*($V$6-$M$2)*C6 и копируем её до ячейки АА6.

      14) В ячейку W7 вводим формулу = (W2-$L$3)*($V$7-$M$2)*C7 и копируем её до ячейки АА7.

      15) В ячейку X11 вводим формулу = S2*$W$8, копируем её до ячейки X15.

      16) В ячейку Z11 вводим формулу = T2*$AB$3, копируем её до ячейки Z15

      17) В ячейку V16  вводим формулу = СУММ(V11:V15).

      18) В ячейку X16 вводим формулу =СУММ(X11:X15).

      19) В ячейку Z16 вводим формулу = СУММ(Z11:Z15).

      20) В ячейку X17 вводим формулу =X16/30.

      21) В ячейку Z17 вводим формулу =Z16/30.

      22) В ячейку X18 вводим формулу =КОРЕНЬ(X17).

      23) В ячейку Z18 вводим формулу =КОРЕНЬ(Z17)

      24) В ячейку L9 введём формулу =AB8/(X18*Z18). В этой ячейке будет находиться значение коэффициента корреляции для группированных данных.

2.1 Нахождение уравнений регрессии.

      1) Найдём уравнение регрессии по  группированным данным.

      Для того чтобы вычислить коэффициенты уравнения регрессии по группированным  данным необходимо вычислить значение параметров по формулам, приведенным в теории.

Рис.6 Фрагмент окна Excel, отображающий полученное уравнение групповой регрессии.

Пояснения:

            1) В ячейку L32 вводим формулу =Х18.

      2) В ячейку L33 вводим формулу =Z18.

      3) В ячейку L34 вводим формулу =L33/L32.

      В итоге получили уравнение регрессии по групповым данным:

      У=1,2777Х-132,250

    2.2  Нахождение уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

    Аппроксимируем  функцию  линейной функцией . Найдем коэффициенты a₁ и a₂ . 

      1) В ячейку P24 вводим формулу =A22^2 и копируем её в ячейки P25:P53.

      2) В ячейку Q24 вводим формулу =A22*B22 и копируем её в ячейки Q25:Q53.

      3) В ячейку R24 вводим формулу =A22 и копируем её в ячейки R25:R53

      В ячейку T24 вводим формулу =$L$9*$L$34*(R24-$L$2)+$M$2 и копируем её в ячейки T25:T53.

      В ячейку W24 вводим формулу =(B22-V24)^2 и копируем её в ячейки W25:W53.

      В ячейку Z24 вводим формулу =(B22-T24)^2 и копируем её в ячейки Z25:Z53.

      4) В ячейку P54 вводим формулу =СУММ(P24:P53)

      5) В ячейку Q54 вводим формулу =СУММ(Q24:Q53).

      

                Рис.7 Фрагмент окна Excel, отображающий полученное уравнение линейной регрессии.

      В итоге получили уравнение регрессии  по групповым данным: y=1,2777X-133,195.

2.3 Нахождение коэффициентов детерминированности.