Исчислителые системы с древнейших времен до наших дней

Содержание:

1. Введение……………………………………………………………………3
2. Древнеегипетская десятичная непозиционная система………………..4
3. Числовая система индейцев Майя……………………………………….4
4. Вавилонская шестидесятеричная система………………………………5
5. Римская система……………………………………………………………7
6. Двенадцатеричная система счисления……………………………………8
7. Алфавитные системы счисления………………………………………….9
8. Десятичная система……………………………………………………….10
9. Двоичная система…………………………………………………………12
10. Обозначения чисел………………………………………………………14
11. Заключение………………………………………………………………15
12. Список литературы………………………………………………………16

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение

     Современный человек в повседневной жизни  постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

     Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять  называть цифрами.

     Но  что же люди понимают тогда под  словом "число"?

     Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

     Эталон  называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения  не всегда укладывалась целое число  раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

     Сегодня, в XI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.  
 

     Древнеегипетская  десятичная непозиционная система

     В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения  чисел 1, 0, 10²,10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

     Число 345 древние египтяне записывали так: , 
где — единицы, — десятки, — сотни, — тысячи.

     В основе древнеегипетской системы счисления  лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.  

     Числовая  система индейцев Майя

     "В  письменности Майя, как и в других иероглифических системах письма, употребляются знаки фонетические (алфавитные и слоговые), идеографические (обозначающие целые слова) и ключевые (поясняющие значения слов, но не читающиеся). Один и тот же знак в разных сочетаниях может употребляться то как фонетический, то как ключевой, то как идеограмма..."

                                                                                                    Юрий Кнорозов

     Иероглифические символы чисел майя от 1 до 10.

 

     Вавилонская шестидесятеричная система

     Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации  — вавилонской — люди записывали цифры по-другому.

     Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин — — для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так: . Знаки и служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком , что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

     Значение  числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учетом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

     Число 92=60+32 записывали так: , а число 444 в этой системе записи чисел имело вид  
,    так как 444=7 · 60+24.

     Все числа от 1 до 59 вавилонян записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной  системе с основанием 60.

     Запись  числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, 3632=3600+32=60²+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда — , что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

     Число 3632 теперь нужно было записывать так: . Но в конце числа этот символ все же не ставился, т.е. этот символ все же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

     Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически  невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

     Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

     Мнения  историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной.

     Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам, 1 градус = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.

     Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуты на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).  

     Римская система

     Знакомая  нам римская система не слишком  принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

     Число в римской системе счисления  обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

     1) сумме значений идущих подряд  нескольких одинаковых цифр (назовем  их группой первого вида);

     2) разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L (50) и C (100) из "младших" может стоять только X (10), перед D (500) и M(1000) — только C (100), перед V (5) — только I (1);

     3) сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого  или второго вида.

     Например, IX обозначает 9, XI обозначает11. Десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII=10+10+5+1+1+1, а десятичное число 99 имеет вот такое представление: IC= -1+100.

     Число 32 в римской системе счисления  имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

     Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

     Число 1974 в римской системе счисления  будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры"). Вы видели подобные обозначения года выпуска в титрах голливудских фильмов.

     Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, разделов и глав в книгах.  

     Двенадцатеричная  система счисления

     Довольно  широкое распространение имела  двенадцатеричная система счисления.

      Происхождение её тоже связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.

     Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие  числа являются составными.