Не  приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут  получится.

     Основной  случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 2а).

     Неосновной  случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 2б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х₁ + х ₂ ≤ 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.  

     

     Рисунок 2 - Выпуклые многоугольники 
 

     Наконец, возможен случай, когда неравенства  противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

     Рассмотрим  теорию на конкретном примере:

     Найти допустимую область задачи линейного  программирования, определяемую ограничениями

      1.32) 

     

     Рисунок 3 - Графики 

     Решение:

     Рассмотрим  прямую –x₁+x₂ = 1. При x₁ = 0, x₂ = 0, а при x₂= 0, x₁= -1. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря x₁ = x₂ = 0, получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 3.а.

     Рассмотрим  прямую . При , а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как (3.б).

     Наконец, рассмотри м прямую . Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 3.в.

     Сводя все вместе и добавляя условия  х₁ ≥ 0,х₂ ≥ 0 получим рисунок 4, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратим внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.

     

     Рисунок 4 - График иллюстрирующий решение задачи 

     Этап 2.

     Вернёмся  теперь к исходной задаче линейного  программирования. В ней, кроме системы  неравенств, есть еще целевая функция с₁х₁+с₂х₂ =>max. 

     

     Рисунок 5 

     Рассмотрим  прямую с₁х₁+с₂х₂ = L. Будем увеличивать L. Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с₁,с₂), так как это вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции

     f(х₁,х₂) = с₁х₁+с₂х₂ .

     А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу

     

     

     Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый  многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами.

     Этап 3

     Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться. В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

 

     Рассмотрение  средств, имеющихся  в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом

     Мастер  диаграмм

     Excel поддерживает различные типы диаграмм, что позволяет представлять данные наиболее понятным для той или иной аудитории способом. При создании новой или изменении существующей диаграммы можно выбрать один из разнообразных типов (например, гистограмму или круговую диаграмму) и подтипов (например, гистограмму с накоплением или объемную круговую диаграмму). Совместив в одной диаграмме разные типы, можно создать смешанную диаграмму.

     Для создания диаграммы необходимо воспользоваться инструментами панели "Диаграммы" ленты "Вставка".

     Если  не устраивает ни один из предложенных вариантов диаграмм, то необходимо воспользоваться кнопкой вызова окна панели "Диаграммы".

     После этого надо указать диапазон данных для построения диаграммы. Если данные берутся из всей таблицы, то достаточно указать любую ячейку таблицы. Если надо выбрать лишь определенные данные из таблицы, то надо выделить этот диапазон. Во время выделения можно пользоваться кнопками Shift, Ctrl.

     Для взаимной замены данных на осях надо воспользоваться  кнопкой "Строка/Столбец".

     После вставки диаграммы в окне Excel 2007 появляется контекстный инструмент "Работа с диаграммами", содержащий три ленты "Конструктор", "Макет", "Формат".  
 

 

     

     Практический  раздел

     Решение задачи линейного  программирования графическим  методом

     Условие задачи:

     Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице 1.

     Таблица 1

       

      Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия  от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделие В надо выпустить не менее, чем изделия А.

     Решение:

     Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х₁ +4 х₂) единиц ресурса I, (4х₁ +4х₂) единиц ресурса II, (3х₁ +12х₂) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств: 

      12х₁ +4х₂ ≤ 300;             3х₁ + х₂ ≤ 75;

      4х₁ +4х₂ ≤ 120;                  х₁ + х₂ ≤ 30;

     3х₁ +12х₂ ≤ 252.                 х₁ +4х₂ ≤ 84.  

     По  смыслу задачи переменные х₁ ≥ 0, х₂ ≥0. (1,1)

     Конечную  цель решаемой задачи – получение  максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию  двух переменных х₁ и х₂.

     Суммарная прибыль А составит 30х₁ от реализации продукции А и 40х ₂ от реализации продукции В, то есть : F = 30х₁ +40х _2.  (1,2)

     Изобразим многоугольник решений данной задачи.

     В ограничениях задачи поменяем знаки  неравенства на знаки равенства.

     Проведем  оси: на горизонтальной будут указываться  значения переменной х₁, а на вертикальной — х₂ .Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: x₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е выше оси x₁ и правее оси х₂).

     Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще  всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получится система уравнений прямых:  

      3х₁ + х₂ = 75;

     х₁ + х₂ = 30;

     х₁ +4х₂ = 84.  

     а затем на плоскости провести эти  прямые.

     Например, неравенство 3х₁ + х₂ ≤ 75 заменяется уравнением прямой 3х₁ + х₂ = 75. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой Можно положить х₁ = 0, тогда х₂ = 75/1 = 75.. Аналогично для х₂ = 0 находим x₁ = 75/3 = 25. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 75) и (25;0). Аналогично найдём остальные точки и запишем их в таблицу 2.

     Таблица 2

       

     Согласно данной таблицы, построим график в программе Excel.

 

     Рисунок 6 График решения задачи

     Заштрихованная  область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции  F. Т.к. целевая функция F стремиться к максимуму, то идя по направлению градиента, получим точку B с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

      3х₁ + х₂ ≤ 75,           х₁ = 19,64,

     х₁ + 4х₂ ≤ 84,               х₂ = 16,09. , т. е. B(16,09; 19,64)  

     максимальное  значение линейной функции равно :

     F_max = 30*16,09 + 40*19,64 = 1232,80.

     Экономическая интерпретация

     Максимальная  прибыль предприятия при условии, что изделия В надо выпустить не менее изделия А, может быть достигнута при производстве 16,09 единиц продукции А и 19,64 продукции В. При таком уровне производства прибыль предприятия будет равняться 1232,80 денежным единицам.  

 

     Заключение

     В заключение к данной курсовой работе хотелось бы сказать, что использование  методов линейного программирования позволяет решать различные задачи оптимизации от минимизации издержек и максимизации прибыли до транспортных задач и задачах о размещении производства.