Числовые последовательности в информатике

     При исполнении программы каждое число  p расширенной таблицы Пифагора 120x120, находящееся на пересечении n-го столбца и m-й строки, будет изображаться белой клеткой, а числа, удовлетворяющие заданному в программе условию, - синими.

     Так, на рис. 1 (программа 1) синим цветом выделены квадратные числа таблицы Пифагора: 1, 4, 9, 16, …, n²,… , зеленым - треугольные: 1, 3, 6, 10, …, ¹/₂ n(n+1),… красным - числа одновременно и квадратные и треугольные: 1, 36, 1225, 41616 и т.д.

     Чтобы получить представление о том, как  в таблице Пифагора расположены  числа, дающие одинаковые остатки при  делении, например на 5, закрасим числа, дающие остатки 0, 1, 2, 3, 4, каждое своим  цветом. Как это ни удивительно, но таблица Пифагора оказывается расчленен  ной на совершенно одинаковые по раскраске  квадраты (рис. 2, программа 2).  
Аналогичное разбиение получается при делении чисел таблицы на любое другое натуральное число k, в чем легко убедиться, заменив в программе число 5 на него.

     Благодаря свойству периодичности таблицы  Пифагора по остаткам на экране возникают  разнообразные мозаики. Очевидно, чем  больше k, тем больше будет остатков r, тем больше потребуется цветов. Чтобы узоры не были слишком пестрыми, ограничимся, например, тремя цветами. Для этого остатки сгруппируем по модулю 3, то есть первым цветом закрасим числа таблицы с остатками 1, 4, 7, 10.., вторым - числа с остатками 2, 5, 8, 11.., а третьим - числа, кратные 3 (рис.3, программа 3).

     Можно расчленить любую из этих мозаик на три одноцветные, дополняющие одна другую до полной мозаики. Каждая из них  в отдельности тоже представляет интерес (рис.4, программа 4).

     Еще один вариант трехцветных мозаик приведен на рис. 5 (программа 5). Здесь  для большей симметрии одинаковым цветом закрашены не только числа  с одинаковым остатком r, но и числа с остатком, дополняющим r до k.  
Интересные мозаики возникают и тогда, когда красят не все числа, а выборочно. Например, трехцветный узор на рис. 6 (программа 6). Кружевной монохромный узор (рис.7, программа 7) возникает, если во всей таблице закрасить одинаковым цветом только числа, дающие остатки, сравнимые с одним и тем же натуральным числом.

     А если в программу включить генератор  случайных чисел для определения  размеров квадратов k, лежащих в периоде номеров расширенной таблицы Пифагора и номеров цвета c, то с помощью компьютера таблица превратится в своеобразный калейдоскоп удивительных и неповторяющихся узоров (рис. 8, программа 8).

     На  рис. 9 (программа 9) показано, как в  таблице Пифагора 32x32 чередуются числа  нечетных и четных сотен. Здесь каждое число изображено клеткой синего или зеленого цвета. Причем числа  первой, третьей, пятой и т. д. сотни  закрашены синим, а числа второй, четвертой, шестой и т.д. - зеленым. Ясно, что если произведение n x m постоянно, то между числами существует обратная пропорциональность, поэтому чередующиеся синие и зеленые полосы имеют гиперболическую форму.

     С увеличением произведения n x m ширина полос уменьшается, а затем полосы и вовсе разрываются и распадаются на одноцветные островки, которые группируются с островками того же цвета, но из другой сотни, образуя симметричные формы (рис. 10, программа 10). Здесь каждое число таблицы 480x480 изображено точкой-пикселем.

     Занимаясь изучением свойств таблицы Пифагора, можно отыскать новые, не менее красивые узоры на основе этой древней числовой схемы.  
 

      ПРОГРАММЫ 
1. "Квадратные и треугольные числа"  
screen 12  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf  
q=int(sqr(p))^2  
if p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf  
t=int(sqr(2*p))  
if p=t*(t+1)/2 then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),2,bf  
t=int(sqr(2*p))  
if p=t*(t+1)/2 and p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),4,bf  
next m,n  
 
2. "Остатки по модулю 5"  
screen 12  
for n=1 to 60  
for m=1 to 60  
p=m*n  
c=p mod 5  
line (8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c+9,bf  
next m,n  
 
3. "Трехцветные мозаики по остаткам"  
screen 12  
for k=1 to 50  
cls  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
r=p mod k  
c=r mod 3  
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 3*c+9,bf  
next m,n,k  
 
4. "Разложенные мозаики"  
screen 12  
for k=2 to 29 step 3  
cls  
for n=1 to 150  
for m=1 to k  
p=m*n  
r=p mod k  
c=r mod 3  
line(4*n,4*m+165*c)-(4*n+ +2,4*m+165*c+2),3*c+9,bf  
next m,n,k  
 
5. "Трехцветные мозаики с дополнениями"  
screen 12  
for k=1 to 50  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
r=p mod k  
if r>k/2 then r=k-r  
c= r mod 3  
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c,bf  
next m,n,k  
 
6. "Трехцветные мозаики - не плотные"  
screen 12  
for k=1 to 50  
cls  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
r=p mod k  
if r=1 or r=k-1 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf  
if r=k\2 or r=k-k\2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 12,bf  
if r=k\4 or r=k-k\4 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf  
next m,n,k  

7. "Монохромный узор"  
screen 12  
for k=1 to 50 step 3  
cls  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
r=p mod k  
if r mod 3=2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),14,bf  
next m,n,k  
 
8. "Калейдоскоп узоров"  
screen 12  
for i=1 to 50  
c(1)=int(rnd(1)*6)  
1 c(2)=int(rnd(1)*11)  
if c(2)=c(1) then goto 1  
2 c(0)=int(rnd(1)*16)  
if c(0)=c(1) or c(0)=c(2) then 2  
3 k=int(rnd(1)*43)+7  
if k mod 3=0 then 3  
for z=1 to 1000000  
next z  
cls  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
r=p mod k  
if r>k/2 then r=k-r  
c= r mod 3  
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c(c),bf  
next m,n,i  
 
9."Чередование сотен"  
screen 12  
for n=1 to 60  
for m=1 to 60  
p=m*n  
c=int(p\100) mod 2+1  
line(8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c,bf  
next m,n  

10. "Чередование сотен точечное"  
screen 12  
for n=1 to 480  
for m=1 to 480  
p=n*m  
p=int(p/100)  
c=p mod 2+1  
pset (n,m),c  
next m,n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Энциклопедия  целочисленных последовательностей

     Нил Дж. А. Слоун (Neil J. A. Sloane) - известный математик, работает в AT&T Bell Laboratories. Его основные работы относятся к теории графов, геометрии выпуклых тел и комбинаторике. В 1995 году вышла книга Дж. Слоуна "Энциклопедия целочисленных последовательностей", о которой я и собираюсь  рассказать.

     Книга представляет собой хорошо систематизированную  подборку самых разнообразных числовых последовательностей, которые встречаются  в математике, информатике  и смежных  науках. О каждой последовательности можно узнать много занимательных  фактов, найти ссылки на литературу. Но самое интересное, что все эти  факты и комментарии не только существуют в изданной за рубежом  и не переведенной книге, но и доступны любому желающему через Интернет.  Энциклопедия Слоуна работает и в "почтовом" режиме: точно такая же справка  будет выслана по электронной  почте, если отправить e-mail по адресу sequences@research.att.com, а в теле письма указать начало интересующей вас последовательности.

     Подробно  остановимся на изучении Электронной  энциклопедии целочисленных последовательностей (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). В Интернете  она доступна по адресу http://oeis.org/ К сожалению, энциклопедия доступна только на английском языке, но, справляясь с трудностями перевода, попробуем описать все ее возможности.

     Кому  она может пригодиться? Если при  решении задачи получился некоторый  набор значений для частных случаев  и вывести общую формулу достаточно сложно, наверняка последовательность этих чисел найдётся здесь. Или известно название последовательности и нужно  найти ее n-ый член и т.д. На данный момент коллективом во главе с Нилом Дж. Слоуном систематизировано 142 230 последовательностей. Для каждой даётся описание, авторы и, если есть, общая формула.

     Каждая  последовательность задается своим  индивидуальным именем. Так, например, последовательность треугольных чисел  имеет имя A000217. Для поиска описания нужной последовательности достаточно просто вести ее элементы или имя  в диалоговое окно. По работе с ним  даются следующие рекомендации: вводить  приблизительно 6 членов; первый или  второй член лучше отбросить, так  как существует множество разногласий, где начинается последовательность; не вводить слишком много членов.  Пользуясь этими рекомендациями, введем последовательность членов кубических чисел: 8, 27, 64, 125,… На этот запрос Энциклопедия предложила более 10 последовательностей:

     Уточним сведения об интересующей нас последовательности A000578.

     Здесь представлены члены этой последовательности и комментарии.

     Гиперссылки:list -  дает возможность познакомиться с элементом последовательности по его номеру (приложение 1), graph – графическое представление данных ( приложение2), listen - эта страница, написанная Дэвидом Апплегэйтом, производит файл MIDI для последовательности, используя показанные параметры настройки (приложение3), history - дает комментарии о последовательности(приложение4), internal format –дает справку о свойствах, последовательности и литературе, в которой о ней говорится, описание в программах Maple, Mathematica , PARI. 
 
 
 

     Приложение1                                                                    

     Приложение 2:

     Приложение3

     Изменение A-числа в первом окне будет играть различную последовательность (хотя это не будет изменять заголовок  страницы).

     Модуль  подачи + погашение подачи должно быть <129, модуль продолжительности +, погашение  продолжительности должно быть <6.

     Приложение4

     Заключение

     В данной курсовой работе я привела  примеры использования компьютера для обработки числовых последовательностей. Нужно помнить, что процессор  компьютера обрабатывает числовые последовательности состоящие из нулей и единиц ежесекундно. И, на мой взгляд, для правильного  понимания работы компьютера, который  с каждым днем все глубже и глубже проникает в нашу жизнь и становится неотъемлемой ее частью, еще в школе  необходимо дать понятие числовой последовательности и работы с ними. Материал может  излагаться в качестве дополнительных глав на уроках как математики так  и информатики. Также моя работа может использоваться как материал в помощь учителя для составления  программы для факультатива или  элективного курса по данной теме. Мир, который нас окружает, - это  мир чисел. Поэтому сегодня как  никогда важно уметь работать с ними, знать их тайны, и чем  больше таких тайн мы знаем, тем продуктивнее будет работа.