Числовые последовательности в информатике

     Введение

     Числовая, текстовая, графическая и звуковая информация может обрабатываться компьютером, если она представлена в двоичной знаковой системе. Информация в двоичном компьютерном коде, т.е. данные, представляет собой последовательность нулей  и единиц. Данные обрабатываются компьютером  в форме последовательностей  электрических импульсов. В связи  с этим существует множество программ и устройств по обработке числовых последовательностей. Основанные на математических методах, они позволяют решать задачи самого широкого профиля. По сути любая  программа по определенным алгоритмам обрабатывает числовые последовательности, которые в будущем для нас  представляются той или иной информацией. 

     Любому  специалисту в ходе практической деятельности приходится совершать  операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Математическая теория изменяется сравнительно медленно, однако технология применения математических методов претерпела значительно  более существенные изменения. Буквально  за последние десятилетия пройден  путь от расчетов в уме и на бумаге к применению счетов, арифмометров, калькуляторов и далее — к  расчетам на компьютере. Поэтому в  настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий  применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня.

     С помощью числовых последовательностей, математики описывают процессы,  встречающиеся нам в жизни. Поэтому  важно научиться обрабатывать числовые последовательности с помощью средств современных компьютеров. В этом случае необходимо определить что называется числовой последовательностью, показать способы ее задания, привести примеры описания процессов с помощью числовых последовательностей.

       Числовой последовательностью называется  числовая функция, заданная на  множестве натуральных чисел  или на множестве  первых  n натуральных чисел. Числовая последовательность может быть определена заданием ее n-го члена формулой, позволяющей найти любой член последовательности простой подстановкой номера искомого члена в эту формулу. Такой способ задания последовательности называется явным. Закон образования числовой последовательности может состоять в задании нескольких первых членов последовательности и рекуррентной формулы, с помощью которой каждый следующий член выражается через предыдущий (или несколько предыдущих). Такой способ задания последовательности называется рекуррентным.

     Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры  бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

     С одним из видов числовой последовательности мы встречаемся в биологии. Число  образовавшихся клеток при  митозе и мейозе изменяется как n-й член геометрической прогрессии со знаменателем 2 и 4 соответственно. В литературе, при изучении стихотворных метров, на помощь приходит арифметическая прогрессия. Например, ямб – стихотворный метр с акцентами на чётных слогах стиха. Номера ударных слогов (второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д.) образуют арифметическую прогрессию с первым членом два и разностью, равной двум. Числовые последовательности  нашли своё применение и в экономике. Так, при подсчёте банковского процента нам помогает арифметическая и геометрическая прогрессии. Если смотреть на листья растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света. В природе последовательность Фибоначчи можно проследить на примерах спирального развития сегментов раковины и лепестков подсолнуха, расходящихся лучами из одной точки в центре цветка. в строении нашего тела, в ботанике, в процессах квантовой механики, в практической деятельности людей, она нашла широкое научное применение в математике, технике, музыке, эстетике и пр.

     В своей курсовой работе я приведу  примеры использования программных  средств компьютера при работе с  числовыми последовательностями. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Фигурные  числа в треугольнике Паскаля.

     В математике существует множество последовательностей, упакованных в одну форму. Примером может являться треугольник Паскаля.

     Треугольник   Паскаля  часто записывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.

     

     Треугольник   Паскаля  прост, но в то же время  таит в себе неисчерпаемые сокровища  и связывает воедино различные  разделы математики, не имеющие на первый взгляд ничего общего. Отметим  лишь некоторые из основных свойств.

     Каждый  элемент является биномиальным коэффициентом. Именно это фундаментальное свойство  треугольника   Паскаля  связывает  его не только с комбинаторикой и  теорией вероятностей, но и другими  областями математики и ее приложений, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

     В этой части курсовой работы поставлена следующая задача: задать треугольник Паскаля с помощью Microsoft Office Excel и показать ряд интересных свойств этого треугольника.

     Для этого в столбце А укажем номер  строки треугольника: строки нумеруются сверху вниз, начиная с нуля. В  столбец В заполним нулями. Вершина  треугольника находится в ячейке С1, значение которой равно 1. С помощью  сложения двух соседних элементов предыдущей строки заполняем строку 2(к=1).  Для  этого в ячейку С2 записываем формулу  вычисления В1+С1 и переносим ее на соседнюю ячейку.

       

     Растянув  формулы по строкам и столбцам получаем треугольник Паскаля:

     Пользуясь возможностями Excel, не проводя вычислений, рассмотрим некоторые свойства треугольника Паскаля. Рассмотрим значения треугольника находящиеся в столбцах. Очевидно, что столбец D содержит натуральный ряд. Столбец Е – ряд треугольных чисел. Покажем это.

     Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены  в форме равностороннего треугольника.

     

     Последовательность  треугольных чисел Т_n для n = 0, 1, 2, … начинается так:

     0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

     n-ый член последовательности треугольных чисел можно задать так: T_n=1+2+3+…+n

     Покажем, что в треугольнике Паскаля действительно  есть последовательность треугольных  чисел:

       T_n=E(n+1)=D(n)+E(n)= D(n)+ D(n-1)+E(n-1)=…=

     =Dn+D(n-1)+…+D1+E1=0+1+2+…+n-2+n-1+n.

     Так как ряд начинается с ячейки E2 со значением 0, то для шестого члена последовательности имеем: T₆=E7=1+2+…+6=15.

     Соседний  столбец, столбец F заполнен элементами последовательности тетраэдрических чисел S_n: 0,1,4,10, 24,36,... Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

     

     Известно, что каждый член этой последовательности может быть описан с помощью треугольных  чисел: S_n= T₁+T₂+…+T_n. Действительно, геометрически это можно показать так:

       

     В нашем случае элемент S_n расположен в ячейке по адресу F(n+2)=E(n+1)+F(n+1)=E(n+1)+En+Fn=…=E(n+1)+En+…+E2= T_n+T_n-1+…+T₁

     Есть  еще одна последовательность фигурных чисел, которая может быть выражена с помощью треугольных чисел: квадратная. K_n=T_n+T_n-1. Элементы этой последовательности найдем с помощью Exsel. Задав для элементов столбца F формулу Fn=En+E(n-1) получаем элементы последовательности квадратных чисел.

     

     Геометрически такие числа могут быть представлены в виде площади квадрата с целочисленной  стороной.

     

     Пространственно из этих чисел получаются пирамиды с четырехугольником в основании.  

     Назовем последовательность таких чисел  пирамидальной-4 P_n. Приведем пример:

       P_n=K₁+K₂+…+K_n=T₁+(T₁+T₂)+(T₂+T₃)+…+(T_n-2+T_n-1)+(T_n-1+T_n)+T_n=

     =(T₁+T₂+…+T_n-1)+(T₁+T₂+…+T_n-1+T_n)=S_n-1+S_n

     Итак, представим в Excel все разобранные выше последовательности фигурных чисел.

     

     Изучение  элементов теории фигурных чисел  на занятиях по математике в старших  классах средней школы не только возможно, но и крайне желательно: обширный исторический материал, расцвеченный увлекательными легендами и мифами, способствует повышению интереса к предмету, интересные геометрические конструкции выполняют пропедевтическую роль, готовя старшеклассников к изучению современной дискретной математики, в частности теории графов.

     Задание треугольника Паскаля в Excel делает доступным мгновенное вычисление любого элемента, позволяет убедиться во множестве его свойств. 
 
 

     Узоры таблицы Пифагора

     Впервые таблица Пифагора примерно в том  же виде, в каком ее печатают на обложках школьных тетрадей, но в ионийской  нумерации, появилась в сочинении  неопифагорейца Никомаха Геразского (I-II вв. н. э.) "Введение в арифметику". По словам Никомаха, эта таблица восходит "к самому Пифагору". Еще более древние таблицы умножения обнаружены на месопотамских глиняных табличках - их "возраст" около 5 тысяч лет. Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.

     Расширенные таблицы умножения существуют давно. Так, например, в первой печатной математической книге на русском языке "Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи" (Москва, 1682) имеется таблица умножения  чисел от 1x1 до 100x100.

     Таблица умножения скрывает в себе много  замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее  немало сюрпризов.

     К изучению свойств расширенной таблицы  Пифагора можно привлечь компьютер. Каждое число таблицы изобразим  точкой (или клеткой) координатной плоскости  монитора и в соответствии со свойствами чисел окрасим точки каким-либо цветом. Это реализуется с помощью  шаблона программы, написанной на языке Turbo Basic version 1.1.  
screen 12  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),15,bf  
if условие then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf  
next m,n