Численные методы решения задач управления технологическими процессами

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ»

 
 
 
 
 
         Кафедра «Автоматика и Электротехника».

 
 
 
 
 
 
 
Курсовая  работа.

«Численные  методы решения задач управления технологическими процессами».  

Группа: 07-ИУ-4

Студент: Коняхин  Е. И.

Преподаватель: Михайлов А. В. 
 
 
 
 

Москва 2010. 

Поиск глобального максимума методом равномерного поиска.

Метод равномерного поиска заключается в последовательном вычислении целевой функции при всех допустимых значениях варьируемого параметра x:  

Пусть заданная погрешность определения максимального значения .

Тогда для реализации алгоритма поиска следует определить значение в 

точках, равномерно относящихся друг от друга на расстоянии , т.е. в точках: 

Из полученных значений показателя качества выбирается наибольшее значение (глобальный максимум). 
 

Алгоритм расчета.

 
 

 

 

 
 

 ДА 
 
 
 
 
 
 
 

Результаты  расчета.

Целевая функция  имеет вид : 

 

               Вывод : при уменьшении заданной погрешности ( точность измерений увеличивается, что позволяет нам получить верное значение глобального максимума. Недостатком метода является то, что одновременно с уменьшением заданной погрешности увеличивается требуемое количество вычислений функции, что приводит к большим затратам машинного времени. 

Одномерная  оптимизация методом  дихотомии.

Этот метод используется для поиска экстремума класса унимодальных функций. Идея метода проста – делить интервал [a,b] , где расположена точка экстремума , пополам 

и отбрасывать ту часть, где экстремума заведомо быть не может. С этой целью достаточно вычислить значение в точках , отстоящих друг от друга на расстояние заданная погрешность определения оптимума. По двум вычисленным значениям и , в силу унимодальности функция легко установить новый интервал неопределенность по следующим условиям ( при поиске максимума):

 

 

Таким образом, в  результате двух вычислений , промежуток , где содержится экстремум сократится в двое. Следующая пара измерений производится в районе серидины нового интервала неопределенности. Вычисления производятся до тех пор, пока на k-м шаге, после 2k вычислений длина интервала неопределенности , где находится оптимум, не станет меньше или равна . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Алгоритм  расчёта.

 
 
 
 
 
 

      ДА 
 
 
 
 

       ДА 
 
 

Результаты  расчета.

Целевая функция  имеет вид : 

 

             Вывод : как видно метод  дихотомии позволяет довольно быстро попадать в район оптимума. И требует меньшего числа расчётов по сравнению с некоторыми другими методами (например : методом равномерного приближения). 
 
 
 

Одномерная  оптимизация методом  золотого сечения.

          Интервал неопределенности делится на три отрезка, причем внутренние точки располагаются симметрично по отношению к крайним .

          Берутся пробные точки и располагаются следующим образом :  
 

          Вычисляется целевая функция в этих точках. В результате анализа двух значений и целевой функции исключается один из подинтервалов, где оптимума заведомо быть не может, и выбирается новый интервал неопределенности, который должен исследовать в дальнейшем.

Поиск оптимума завершается, если после k- го шага длина интервала неопределенности станет меньше или равна . 

Алгоритм  расчёта.

 
 
 
 
 
 
 

      нет

      нет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Результаты  расчета.

Целевая функция  имеет вид : 

 

         Вывод : преимуществом этого метода над методом дихотомии является то, что на каждом шаге вычисляется лишь одно значение , а не два. 

Одномерная  оптимизация методом  поразрядного приближения.

         Метод обладает высоким быстродействием. Это достигается тем, что используется алгоритм с переменным шагом поиска. Задаем интервал [a,b] , содержащий внутри себя точки максимума :

       Задается начальное значение и вычисляется . Задается начальный шаг поиска h и кратность изменения шага k в районе оптимума. Производится поиск максимума. Поиск из начальной точки x= осуществляется с постоянным шагом h , после каждого шага вычисляется значение критерия , оно сравнивается с предыдущим и в случае улучшения критерия шаги продолжаются. Движение к оптимуму с неизменным шагом h продолжается до тех пор, пока очередной шаг не  окажется неудачным. После этого поиск максима продолжается из последней точки в обратном направлении с шагом в k раз меньше прежнего. Эта процедура будет продолжаться до тех пор, пока не выполнится условие:

          , где - заданная погрешность определения оптимума. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Алгоритм расчета.

 

 
 
 

 
 
 

да

      нет 
 
 
 
 
 
 
 

Результаты  расчета.

Целевая функция  имеет вид : 

 
 
 
 
 

          Вывод: метод является эффективным для измерения оптимума унимодальной функции, причем изменение шага поиска или кратности уменьшения шага ( при неизменной погрешности вычисления на результат практически не влияет).