Методы решения задач фильтрации газа с помощью уравнения материального баланса

                                Ώ(t)=Ώ_н - Q_в(t)/[-α_ост( )                         (1.9) 

   Таким образом, под текущим газонасыщенным объемом (в 1.8) понимается его выражение согласно (1.9).

   Не  представляет труда из уравнения  материального баланса (1.8) получить дифференциальное уравнение истощения залежи при водонапорном режиме.

Принципиальных  затруднений для использования (1.8) и (1.9) при определении показателей разработки газовых месторождений в условиях водонапорного режима не имеется. Однако использование указанных формул усложняет методику расчетов, что объясняется необходимостью определения α_ост и учета изменения этого коэффициента от переменного давления . Кроме того, при анализе фактических данных затрудняется определение зависимости Расчеты значительно упрощаются, если в (1.8) принять следующее допущение 

                                                                                   (1.10) 

   Условие (1.10) характеризует допущение о том, что газ защемляется при давлении, равном среднему пластовому давлению в залежи, и изменение коэффициента остаточной газонасыщенности определяется изменением во времени среднего пластового давления, т.е. α_ост = α_ост(). Тогда из (1.8) с учетом (1.9) и (1.10) получим 

     z[(t)][(Ώ_н р_н/z_н) - p_ат Q_доб(t)Т_пл/Т_ст]/ Ώ_н - Q_в(t)        (1.11) 

   Важность  уравнения (1.11) состоит в том, что для использования его, благодаря допущению (1.10), не требуется знания трудно определяемой а_осх для обводненной зоны пласта и установления зависимости ее изменения во времени. Уравнение (1.11) обеспечивает высокую точность при прогнозных расчетах до отбора из залежи 50% и более от начальных запасов газа в пласте. При больших отборах необходимо использовать уравнения (1.8) и (1.9).

   В ряде случаев, при значительной неоднородности пласта по коллекторским свойствам, в обводненной зоне может оставаться газ в виде макрозащемленных объемов. Тогда при анализе разработки в уравнении материального баланса  его необходимо учитывать. В прогнозных же расчетах весьма затруднительно заранее  учесть возможность формирования макрозащемленных объемов газа. Строго говоря, их не следует допускать в принципе, предпринимая соответствующие меры по регулированию системы разработки. 

3.3 Учет отдельных факторов в материальном балансе залежи 

   Теория  и практика разработки месторождений  природных газов приводят к необходимости  учета в уравнении материального  баланса некоторых процессов, проходящих в продуктивном пласте при снижении давления. 

Учет  ретроградных явлений  в пласте

   При разработке газоконденсатной залежи в  пласте выпадает конденсат. Поэтому  начальная масса М_н газоконденсатной смеси в пласте равняется сумме текущей массы M(t) газоконденсатной системы в пласте, массы M_к(t) выпавшего в пласте сырого конденсата к моменту t и массы добытого M_доб(t) пластового газа к моменту t, т.е.

                         М_н = M(t) + M_к(t) + M_доб(t)                      (1.12)

   Поступая  аналогично предыдущим случаям, получаем следующее уравнение для газоконденсатной залежи применительно к газовому режиму: 

                Ώ_н р_н Т_ст ρ_гн/ p_ат z_н Т_пл =[Ώ_н -ΔΏ( )](t) Т_стρ_г( )/z() p_атТ_пл + +ΔΏ( ) ρ_к( )+ M_доб(t)                                                                                               (1.13) 

Здесь Ώ_н, ΔΏ( ) - соответственно начальный газонасыщенный поровый объем залежи и объем пор пласта, занятых выпавшим сырым конденсатом к моменту t; р_н, (t) - начальное и текущее среднее пластовые давления, взвешенные соответственно по поровым объемам  Ώ_н и Ώ_н -ΔΏ( ); z_н, z() - коэффициенты сверхсжимаемости газоконденсатной системы при температуре Т_пл и соответственно при давлениях р_н и (t); ρ_гн, ρ_г( ) - соответственно плотность пластового газа начального и текущего состава, приведенные к р_аг и Т_ст; ρ_к( ) - плотность выпавшего в пласте сырого конденсата на момент t, приведенная к давлению (t) и температуре Т_пл. 

   

   При определении массы добытого пластового газа к моменту t используется следующее рекуррентное соотношение: 

           M_доб(t) =  M_доб(t - Δt) +{ Q_{доб сг}(t)β[(t)]- Q_{доб сг}(t - Δt)β[(t - Δt)]}{ρ_г [(t)]+ + ρ_г [(t- Δt)]}                                                                                                                (1.14)                                                            

   Здесь M_доб(t - Δt) - масса добытого пластового газа на момент t - Δt; Q_{доб сг}(t - Δt) , Q_{доб сг}(t) - добытые количества сухого газа на моменты t - Δt и t соответственно, приведенные к р_ат и Т_ст; Δt - шаг по времени; β() - объемный коэффициент перевода сухого газа в пластовый газ при стандартных условиях, β = Q_{доб пл г} / Q_{доб сг} . 

Деформационные  изменения в продуктивном пласте

   Лабораторные  эксперименты с образцами керна  показывают, что при снижении внутрипорового (пластового) давления уменьшаются коэффициенты пористости и проницаемости. Проницаемость карбонатных коллекторов в значительной мере трещинная. Она особенно чувствительна к изменениям давления в призабойной зоне или отдаленных областях пласта.

   Результаты  экспериментов показывают, что зависимость  коэффициента пористости от давления обычно экспоненциальная:

               m = m₀ ехр[-а_m(p_н - р)] 

   Здесь m₀ - коэффициент пористости при р_н; а_m - коэффициент сжимаемости пор, 1/МПа.

   Тогда нетрудно видеть, что уравнение материального  баланса для газовой залежи с  деформируемым коллектором записывается в виде (при принятии = 1) 

   (t) ехр[-а_m(p_н - (t))]/z[(t)]= р_н/z_н - p_ат Q_доб(t)Т_пл/ Ώ_н Т_ст        (1.15) 

   Оценки  показывают допустимость применения уравнения (1.15) при высоких коэффициентах газонасыщенности а (при ≥0,8).

   При деформации пласта - коллектора коэффициент  газонасыщенности изменяется, во-первых, вследствие уменьшения порового объема залежи и, во-вторых, по причине расширения остаточной воды. Обозначим текущий коэффициент газонасыщенности пласта через . Тогда уравнение материального баланса представляется следующим образом: 

          (t)[(t)] ехр[-а_m(p_н - (t))] / z[(t)]= р_н/z_н - p_ат Q_доб(t)Т_пл/   / Ώ_н Т_ст         

   Здесь [(t)]= 1-(1-) ехр[(а_m+ β_ж)(p_н - (t))]; β_ж - коэффициент объемной упругости жидкости.

   Влияние деформации пласта-коллектора на зависимость  /z()=f(Q_доб(t)) проиллюстрировано на рис. 2.17. При этом запасы газа в рассматриваемом пласте Q_зап =100 млрд.м³, а р_н=30 МПа. Содержание метана в газе 98%, пластовая температура 323К, = 1.

Значение  а_m = 10^-2 1/МПа (для сопоставления отметим, что в случае гранулярного коллектора a_m ≈ 10^-3 1/МПа). 

   

   Итак, вследствие деформации продуктивного  коллектора зависимость /z()=f(Q_доб(t)) (линия 2) располагается выше соответствующей зависимости при отсутствии деформации (линия 1), что объясняется уменьшением во времени порового объема залежи. При = 0 линии 1 и 2 сходятся в одну точку, так как независимо от того, деформируемый ли пласт или нет, добытое количество газа к моменту, когда = 0, должно равняться начальным запасам газа в пласте. Если проэкстраполировать начальный участок зависимости /z()=f(Q_доб(t)) до оси абсцисс ( линия 3 ), то оцениванием завышенные начальные запасы газа в пласте. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  4.Примеры  числовых расчетов  и графических  решений

  Многие  задачи неустановившейся фильтрации газа решаются приближенно по методу последовательной смены стационарных состояний с привлечением уравнения материального баланса газа. 

  4.1 Решение задачи  о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний 

  Отметим, что метод ПССС основан на следующих  предпосылках:

1. в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;
2. движение газа внутри возмущенной области стационарно;
3. размер возмущенной области определяется из уравнения материального баланса.

  Рассмотрим  решение задачи (методом ПССС) о  притоке газа к скважине с постоянным дебитом Q_АТ ; радиус скважины r_C .

  В любой момент времени возмущенной  областью является круговая область  радиусом R (t) , внутри которой давление распределяется по стационарному закону (6.26)

   ,  .      (8.15)

  Вне возмущенной области давление равно  начальному (невозмущенное состояние):

  Р = Р_К , r > R (t).                                      (8.16)

  Для возмущенной зоны можно записать выражение дебита по формуле (6.28) для  стационарной фильтрации:

   ,     (8.17)

  Заметим, что в нашей задаче (при Q_АТ = const) забойное давление  Р_С = Р_С (t).

  Для дальнейших выводов выделим из (8.17) отношение:

  

.

  и подставим в формулу (8.15). Получим: 

   .    (8.18) 

  Для нахождение R (t)  составим уравнение материального баланса.

  Начальный запас газа (при Р = Р_К) в зоне пласта радиусом R (t)

       

.             (8.19)

  Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

   ,   (8.20)

  где     определяется по формуле (6.30) установившейся фильтрации

           (8.21)

  Так как отбор происходит с постоянным дебитом Q_АТ, то отобранная масса газа к моменту t равна . Следовательно

  

  или с учетом (8.19) и (8.20), имеем

                    (8.22)

  Подставляя  в (8.22) выражения (8.21) для     и (8.17) для Q_АТ, получим 

  

 

  откуда  

  или                                                                (8.23)     

  Для значений времени, для которых       имеем

   .                                              (8.24)

  Зная  закон движения границы возмущенной  области в виде (8.23) или (8.24), можно  найти давление в любой точке  возмущенной зоны пласта и на забое  скважины по формуле (8.18)

                       (8.25)