Шпаргалка по "Геодезия"

 

1. Сущность и классификация измерений

Измерения, какой либо величины – это процесс сравнения данной величины с однородной ей величиной  принятой за единицу измерений

Различают следующие измерения

1. Непосредственные измерения (прямые).

Здесь объект непосредственно сравнивают с единицей измерений (измерение длинны линии)

2. Косвенные измерения

Здесь искомое значение получается путем вычислений по измеренным значениям других величин, то есть косвенным путем (вычисление площади прямоугольника по измерениям длинам сторон)

Измерения подразделяются на:

• Необходимые
• Избыточные

Если одна и та же величина измерена несколько раз, то необходимым является только один результат, а все остальные избыточными. Они служат для контроля качества выполненных измерений и оценки их точности.

Измерения бывают

• Равноточными
• Неравноточными

Равноточные – измерения выполненные приборами с одинаковой точностью (желательно одним и тем же прибором), одним и тем же исполнителем по одной и той же методике и при одинаковых внешних условиях

Неравноточные – это измерения, выполненные разными приборами или одним и тем же прибором, но по разной методике в различных внешних условиях различными исполнителями или приборами одинаковой точности, но при различном числе приемов.

2. Классификация погрешностей геодезических измерений

Практика выполнения измерения показывает,  что многократные измерения одной и той же величины результаты измерений отличаются как друг от друга, так и от истинного значения этой величины. Это происходит из-за того что каждый результат измерений содержит так называемую погрешность, которая определяется по формуле

 

где - абсолютная (истинная) погрешность

-  результат измерений

Х – точное значение измеряемой величины

Возникает вопрос, где взять истинное значение измерений величины. В некоторых случаях оно известно (сумма внутренних углов треугольника). В геодезии за точное значение величины принимает результат измерений более точным прибором.

Различают следующие погрешности геодезических измерений:

1. Грубые погрешности. Появляются вследствие не внимательности исполнителя или из-за не замечаний не исправностей прибора. Грубые погрешности исключают путем проведения контрольных измерений.
2. Систематические погрешности. При каждом новом измерении эти погрешности закономерно повторяются.
3. Случайные погрешности. 
   Из результатов измерений, должны быть исключены грубые погрешности и систематические,. Только случайные погрешности не устранимы.

 

3. Случайные погрешности измерений, их свойства
1. Положительные и отрицательные – случайные погрешности встречающиеся одинаково часто
2. Модуль – чем больше по абсолютной величине погрешность, тем реже она встречается
3. Значение случайной погрешности при данных условиях измерений не могут превосходить некоторого предела
4. С увеличением равноточных измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремиться к нулю

Поведение случайных погрешностей в ряду равноточных измерений подчиняются заколу нормального распределения Гаусса

 

 

Абсолютная погрешность не всегда является показателем точности измерений, поэтому вычисляют относительную погрешность

 

Относительная погрешность всегда выражается дробью с числителем равным единице.

4. Принцип среднего арифметического в математической обработке результатов равноточных измерений

Допустим, что выполнена равноточных измерений одной и той же величины , точное значение которой известно. При этом считаем, что грубые и систематические погрешности устранены  тогда случайные погрешности представляют следующим рядом

 

 

………………….

 

 

Сложив левые и правые части этих равенств получим

 

Отсюда

 

Где

- среднее арифметическое  из  равноточных измерений одной и той же величины

- среднее арифметическое из случайных погрешностей, согласно свойствам случайных погрешностей это выражение стремиться к нулю.

Следовательно, среднему арифметическому при увеличении числа равноточных измерений приближается к точному значению величины, поэтому среднее арифметическое можно рассматривать как вероятнейшее значение измеряемой величины при не ограниченном числе измерений.

Поскольку на практике число измерений ограниченно среднее арифметическое будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины, однако при всяком числе считается более надежным значением измеряемой величины, чем отдельный самый точный результат.

5. Оценка точности результатов непосредственных равноточных измерений по истинным погрешностям

Выполнив ряд измерений одной и той же величины, получаем и ряд погрешностей , возникает вопрос, как оценить точность результатов измерений.

Например, имеют 2 ряда погрешностей

1. -3, +3, -4, +2, +5, -2, -4, +6
2. +2, -3, +5, -3, +3, -4, +3, -5

Какое измерение выполнено точнее.

По значениям абсолютной погрешности здесь нельзя оценить точность измерений в связи с этим Гаусс предложил рассчитывать среднюю квадратическую погрешность одного измерения

 

Так как СКП второго ряда измерений меньше, то эти измерения точнее. 
Обоснование выбора СКП в качестве критерия тонности измерений.

6. Оценка точности результатов непосредственных равноточных измерений по вероятнейшим погрешностям
1. На величину СКП оказывает сильное влияние квадраты больших погрешностей, которые определяют степень надежности полученных результатов
2. Для определения СКП достаточно сравнительно не большого числа измерений
3. По СКП можно судить о предельной погрешности

 

Или при измерениях требующих повышенную точность используют как двойное произведение СКП

 

В геодезии, говоря о точности измерений, подразумевают СКП и наоборот

Например, для теодолита 4Т30П точность измерения угла одним полуприемом равна 30`` секунд. Здесь подразумевается СКП одним полуприемом

Как отмечалось ранее истинные погрешности, бывают, известны очень редко поэтому СКП одного результата измерения вычисляют по вероятнейшим погрешностям.

Формула Бесселя

- Вероятнейшие погрешности

 

- среднее арифметическое из результатов измерений (то есть вероятнейшее значение величин)

- результат ного измерения

 число измерений

СКП среднего арифметического вычисляется по формуле

 

7. Предельная и относительная погрешности геодезических измерений

 

 

8. Функции от результатов равноточных измерений и оценка их точности

Если известны СКП, каких либо величин то по ним можно определить СКП любой функции этих величин

1. СКП суммы или разности измеренных независимых величин

Величины являются не зависимыми, когда погрешность одной не влияет на погрешность другой

 

Если и измеряются на случайные погрешности то и изменяется на случайную погрешность

 

Вычтем из выражения (2) выражения (1) получим

 

Если измерены раз то можно записать

 

 

 

 

Возведем каждое равенство  в квадрат

 

 

 

 

Сложив каждое равенства и разделив его на получим

 

Согласно формуле Гаусса

 

 

 

Так как произведение случайных погрешностей обладает всеми свойствами случайных погрешностей. Согласно 4 свойству

 

Тогда

 

Или

 

Аналогично выводятся формулы для любого числа слагаемых

 

В частном случае, когда все измерения равноточные т.е.

 

Можно записать

 

2. СКП произведения постоянного на аргумент

 

Выполнив действия аналогично первому пункту, получим

 

3. СКП функции общего вида

Функция нескольких переменных обычно записывают так

 

При этом переменные  называют независимыми переменными или аргументами

Функция может представлять собой  сумму и разность,  произведение и деление аргументов возведение их в степень представление в виде логарифма  или тригонометрической функции

Для нахождения СКП такой функции необходимо использовать частные производные

СКП функции общего вида вычисляют по формуле

 

Эту формулу можно применять к рассмотренным выше функциям и получим те же самые формулы для вычисления СКП

4. СКП произведения двух независимых величин

 

 

9. Двойные равноточные измерения и оценка их точности

В геодезии величины измеряют дважды для определения точности можно воспользоваться результатами двойных измерений

Равноточными двойными измерениями являются

1. Измерение углов
2. Измерение превышений способом геометрическим нивелированием
3. Измерение длинны одной и той же линии

Не являются равноточными измерение линий разной длины

Порядок выполнения

1. Вычисляют разность двух равноточных измерений

 

2. Вычисляем СКП результатов из измерений по формуле

 

10. Неравноточные измерения. Веса измерений и их свойства

При неравноточных измерениях нельзя находить вероятнейшие значения величины или среднее арифметическое потому, что степень доверия к каждому результату разная

Для правильной оценки точности используют вес результатов измерений

 Вес результата измерений  – величина обратно пропорциональна  квадрату СКП этого результата

 

 любое число удобное  для вычислений

Чем меньше СКП, то есть точнее измерение тем весомее будет результат

Веса измерений величины показывают степень надежности выполненных измерений

Очевидно, что среднее арифметическое будет иметь больший вес по сравнению с единственным измерений

Свойства весов

1. Все веса измерений можно увеличивать или уменьшать в одно и то же количество раз
2. Веса двух измерений обратно пропорционально квадрату СКП этих измерений

 

3. Вес арифметического среднего из измерений в раз больше единичного измерения

На практике обычно применяют вес одной величины за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений

Когда не известно СКП одного измерения вес можно вычислить по формулам

1. При измерении линии различной длины, но одним и тем же мерным примером

 

2. При измерении величины одним и тем же прибором, но разным числом приёмов

 

3. При измерении углов в ходе имеющих вершин вес суммы углов теодолитного хода рассчитывают то формуле

 

число углов в ходе

11. Веса функций измеренных величин

При неравноточно повторных измерений одной и той же величины вероятнейшее значений этой величины вычисляют по формуле среднего весового

 

Для оценки точности измерений сначала определяют СКП единицы Веса, т.е. СКП такого измерения, вес которого равен единице

 

СКП среднего весового вычисляют по формуле

 

12. Понятие о среднем весовом в математической обработке неравноточных измерений. Средняя квадратическая погрешность среднего весового

Если известны веса аргумента функции, то можно найти и вес самой функции 
При определении веса функции измерернных велечин необходимо пользоваться след алгоритмом.:

1)записать функцию в  явном виде 
2)определить СКП это йфункции 
3)перейти к обратному весу.

Обратный вес

 

4) Найти вес функции

Функция общего вида

 

Сумма или разность измеренных независимых величин

 

13. Тахеометрическая съемка, ее сущность

При тахеометрической съемке одновременно определяют положения снимаемых точек в плане и по высоте, т.е. ситуацию и рельеф снимают одновременно. По данным тахеометрической съемки после камеральной обработки составляют план местности с горизонталями.