Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии

Закон сохранеения энергии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов  физики от момента времени, в который  рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии  является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением  этой системы своим специфическим  законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии  формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон  сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первого начала термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон  сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью  уравнений относительно сдвига во времени.

Фундаментальный смысл закона Симметрия  в физике

Фундаментальный смысл закона сохранения энергии раскрывается теоремой Нётер. Согласно этой теореме каждый закон  сохранения однозначно соответствует  той или иной симметрии уравнений, описывающих физическую систему. В  частности, закон сохранения энергии  эквивалентен однородности времени, то есть независимости всех законов, описывающих  систему, от момента времени, в который  система рассматривается.

Вывод этого утверждения может  быть произведён, например, на основе лагранжева формализма[1]. Если время однородно, то функция Лагранжа, описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтому полная её производная по времени имеет вид:

Здесь — функция Лагранжа, — обобщённые координаты и их первые и вторые производные по времени соответственно. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа, заменим производные на выражение :

Перепишем последнее выражение  в виде

Сумма, стоящая в скобках, по определению  называется энергией системы и в  силу равенства нулю полной производной  от неё по времени она является интегралом движения (то есть сохраняется).

Классическая механика

Формулировка: В ньютоновской механике формулируется частный случай закона сохранения энергии — Закон сохранения механической энергии, звучащий следующим образом[2]

Полная механическая энергия замкнутой  системы тел, между которыми действуют  только консервативные силы, остаётся постоянной.

Проще говоря, при отсутствии диссипативных  сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и  не может исчезнуть никуда.

Примеры

Классическим примером этого утверждения  являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия  деформированной пружины (имеющая  максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию  груза (достигающую максимума в  момент прохождения грузом положения  равновесия) и обратно[3]. В случае математического маятника[4] аналогично ведёт себя потенциальная энергия  груза в поле силы тяжести.

Вывод из уравнений Ньютона

 

Закон сохранения механической энергии  может быть выведен из второго  закона Ньютона[5], если учесть, что в  консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде

где — потенциальная энергия материальной точки ( — радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид

где m — масса частицы,  — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что , можно получить

Путём элементарных операций это выражение  может быть приведено к следующему виду

Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной.

 

Этот вывод может быть легко  обобщён на систему материальных точек[2].

Термодинамика

Основная статья: Первое начало термодинамики

 

В термодинамике исторически закон  сохранения формулируется в виде первого принципа термодинамики:

Изменение внутренней энергии термодинамической  системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме  работы внешних сил над системой и количества теплоты, переданного  системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход

или альтернативно[6]:

Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии  и совершение работы против внешних  сил

В математической формулировке это  может быть выражено следующим образом:

где введены обозначения Q — количество теплоты, полученное системой, ΔU —  изменение внутренней энергии системы, A — работа, совершённая системой.

 

Закон сохранения энергии, в частности, утверждает, что не существует вечных двигателей первого рода, то есть невозможны такие процессы, единственным результатом  которых было бы производство работы без каких-либо изменений в других телах[6].

Гидродинамика

Основная статья: Закон Бернулли

В гидродинамике идеальной жидкости закон сохранения энергии традиционно  формулируется в виде уравнения  Бернулли: вдоль линий тока остаётся постоянной сумма[7]

Здесь введены следующие обозначения:  — скорость потока жидкости,  —  тепловая функция жидкости,  —  ускорение свободного падения,  —  координата точки в направлении  силы тяжести. Если внутренняя энергия жидкости не меняется (жидкость не нагревается и не охлаждается), то уравнение Бернулли может быть переписано в виде[8]

 

 

где   — давление жидкости,   — плотность жидкости. Для несжимаемой жидкости плотность является постоянной величиной, поэтому в последнем уравнении может быть выполнено интегрирование[8]:

Электродинамика

Основная статья: Теорема Пойнтинга

В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется  в виде теоремы Пойнтинга[9][10](иногда также называемой теоремой Умова—Пойнтинга[11]), связывающей плотность потока электромагнитной энергии с плотностью электромагнитной энергии и плотностью джоулевых потерь. В словесной форме теорема может быть сформулирована следующим образом:

Изменение электромагнитной энергии, заключённой в неком объёме, за некий интервал времени равно  потоку электромагнитной энергии через  поверхность, ограничивающую данный объём, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объёме, взятой с обратным знаком.

Математически это выражается в  виде (здесь и ниже в разделе  использована Гауссова система единиц)

где V — некий объём, — поверхность, ограничивающая этот объём,

 — плотность электромагнитной  энергии,

 — вектор Пойнтинга,

 

 — плотность тока, — напряжённость электрического поля, — индукция электрического поля, — напряжённость магнитного поля,   — индукция магнитного поля.

 

Этот же закон математически  может быть записан в дифференциальной форме:

Нелинейная оптика

Основная статья: Соотношения Мэнли — Роу

 

В нелинейной оптике рассматривается  распространение оптического (и  вообще электромагнитного) излучения  в среде с учётом многоквантового взаимодействия этого излучения с веществом среды. В частности, широкий круг исследований посвящён задачам так называемых трёх- и четырёхволновоого взаимодействий, в которых происходит взаимодействие соответственно трёх или четырёх квантов излучения. Поскольку каждый отдельный акт такого взаимодействия подчиняется законам сохранения энергии и импульса, существует возможность сформулировать достаточно общие соотношения между макроскопическими параметрами взаимодействующих волн. Эти соотношения носят название соотношений Мэнли — Роу.

В качестве примера рассмотрим явление  сложения частот света: генерацию в  нелинейной среде излучения с  частотой ω3, равной сумме частот двух других волн ω1 и ω2. Этот процесс  является частным случаем трёхволновых процессов: при взаимодействии двух квантов исходных волн с веществом они поглощаются с испусканием третьего кванта. Согласно закону сохранения энергии, сумма энергий двух исходных квантов должна быть равна энергии нового кванта:

 

 

Из этого равенства непосредственно  следует одно из соотношений Мэнли — Роу:

ω1 + ω2 = ω3,

которое, собственно, и выражает тот  факт, что частота генерируемого  излучения равна сумме частот двух исходных волн.

Релятивистская механика

 

В релятивистской механике вводится понятие 4-вектора энергии-импульса (или просто четырёхимпульса)[12]. Его введение позволяет записать законы сохранения канонического импульса и энергии в единой форме, которая к тому же является лоренц-ковариантной, то есть не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Например, при движении заряженной материальной точки в электромагнитном поле ковариантная форма закона сохранения имеет вид

где   — канонический четырёхимпульс частицы,   — четырёхимпульс частицы,  — энергия частицы, — четырёхвектор потенциала электромагнитного поля , , — электрический заряд и масса частицы,  — собственное время частицы.

Также важным является тот факт, что  даже при невыполнении закона сохранения энергии-импульса (например, в открытой системе) сохраняется модуль этого 4-вектора, с точностью до размерного множителя имеющий смысл энергии  покоя частицы[12]:

Квантовая механика

В квантовой механике также возможно формулирование закона сохранения энергии  для изолированной системы. Так, в шредингеровском представлении при отсутствии внешних переменных полей гамильтониан системы не зависит от времени и можно показать[13], что волновая функция, отвечающая решению уравнения Шредингера, может быть представлена в виде:

Здесь  — волновая функция системы,  — совокупность переменных, от которых зависит состояние системы в данном представлении,  — собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона,  — постоянная Планка,   — некоторые постоянные комплексные коэффициенты, характеризующие состояние системы. По определению средней энергией квантовой системы, описываемой волновой функцией, называется интеграл

где  — гамильтониан системы. Несложно видеть, что этот интеграл не зависит от времени:

где также использовано свойство ортонормированности собственных функций гамильтониана[14]. Таким образом, энергия замкнутой системы сохраняется.

Следует, однако, отметить, что по сравнению  с классической механикой у квантового закона сохранения энергии имеется  одно существенное отличие. Дело в том, что для экспериментальной проверки выполнения закона необходимо провести измерение, представляющее собой взаимодействие исследуемой системы с неким  прибором. В процессе измерения система, вообще говоря, более не является изолированной и её энергия может не сохраняться (происходит обмен энергией с прибором). В рамках классической физики, однако, это влияние прибора всегда может быть сделано сколь угодно малым, в то время как в квантовой механике имеются фундаментальные ограничения на то, насколько малым может быть возмущение системы в процессе измерения. Это приводит к так называемому принципу неопределённости Гейзенберга, который в математической формулировке может быть выражен в следующем виде:

где ΔE имеет смысл среднеквадратичного  отклонения измеренного значения энергии  от среднего значения при проведении серии измерений, Δt — продолжительность  взаимодействия системы с прибором в каждом из измерений.

В связи с наличием этого фундаментального ограничения на точность измерений  в квантовой механике часто говорят  о законе сохранения средней энергии (в смысле среднего значения энергии, полученного в результате серии  измерений).

Общая теория относительности

Основная статья: Проблема законов  сохранения в общей теории относительности

 

Являясь обобщением специальной теории относительности, общая теория относительности  пользуется обобщением понятия четырёхимпульса — тензором энергии-импульса. Закон сохранения формулируется для метрического тензора энергии-импульса и в математической форме имеет вид[15]

где точка с запятой выражает ковариантную производную.

В общей теории относительности  закон сохранения энергии, строго говоря, выполняется только локально. Связано  это с тем фактом, что этот закон  является следствием однородности времени, в то время как в общей теории относительности время неоднородно  и испытывает изменения в зависимости  от наличия тел и полей в  пространстве-времени. Следует отметить, что при должным образом определённом псевдотензоре энергии-импульса гравитационного  поля можно добиться сохранения полной энергии гравитационно взаимодействующих тел и полей, включая гравитационное[16]. Однако на данный момент не существует общепризнанного способа введения энергии гравитационного поля, поскольку все предложенные варианты обладают теми или иными недостатками. Например, энергия гравитационного поля принципиально не может быть определена как тензор относительно общих преобразований координат[17].