Закон кубов Дебая

 

Министерство  образования и науки РТ

Альметьевский государственный нефтяной институт

Кафедра физики 
 
 
 
 
 

Реферат

На  тему «Закон кубов Дебая» 
 
 
 
 
 
 

                                                                                Выполнил: студент группы 29-41

                                                                                         Вырыпаев Р.О.                                  

                                                                         Проверил: Мухетдинова З.З. 
 
 
 
 

Альметьевск 2010 г.

Содержание

 

Теплоемкость твердых  тел

    Классическая  модель.

    В основе классической теории теплоемкости твердых тел (кристаллов) лежит закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматривают как систему N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них приходится в среднем энергия kT (kT/2 в виде кинетической и kT/2 в виде потенциальной). Имея в виду, что число колебательных степеней свободы равно 3N, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов U = 3N_AkT = 3RT. Отсюда молярная теплоемкость

С = дU/дТ = 3R.           (4.35)

 

    В этом суть закона Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел одинакова и равна 3R. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высоких температурах. Опыт показывает, что при низких температурах теплоемкость тел убывает (рис. 4.13), стремясь к нулю при по закону .

    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Модель  Эйнштейна.

    Трудности, на которые натолкнулась классическая теория в вопросе о теплоемкости твердых тел, устранила квантовая  теория. В первоначальной модели, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривался как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором. Предполагалось, что колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой v. Энергия квантового гармонического осциллятора дискретна:

           (4.38)

Можно показать, что средняя энергия такого осциллятора

 (4.37)

Первое  слагаемое здесь — это так  называемая нулевая энергия данного осциллятора. Она не зависит от Т и не имеет отношения к тепловому движению. Поэтому в теории теплоемкости тел ее можно опустить и выражение для внутренней энергии одного моля будет иметь вид:

                 (4.38)

Теперь  можно найти молярную теплоемкость кристаллической решетки:

 (4.39)

Это выражение называют формулой Эйнштейна.

    При высоких температурах она переходит в формулу (4.35). При низких же температурах можно пренебречь единицей в знаменателе, и

 (4.40)

При и , и ход кривой С(Т) в общем почти совпадает с результатами опыта (см. рис. 4.13). Это был серьезный успех квантовой теории.

    Вместе  с тем, предсказываемое теорией  поведение теплоемкости при не очень согласуется с наблюдаемым. По Эйнштейну зависимость С(Т) должна иметь экспоненциальный характер, а опыт дает, что . При других температурах формула Эйнштейна также согласуется с экспериментальными данными только в качественном отношении.

    Эти расхождения связаны не с существом  квантовой теории, а с чрезмерным упрощением самой модели твердого тела, т.е. с предположением, что все  атомы колеблются независимо друг от друга и с одинаковой частотой. Это понимал и сам Эйнштейн, он же указал, в каком направлении следует развивать квантовую модель.

    Модель  Дебая.

    В этой модели кристаллическая решетка  рассматривается как связанная система взаимодействующих атомов. Колебания такой системы — результат наложения многих гармонических колебаний с различными частотами. Под гармоническим осциллятором той или иной частоты теперь надо понимать колебания не отдельного атома, а всей системы в целом. Задача сводится к нахождению спектра частот этих осцилляторов. Это весьма сложно. Дебай сильно упростил задачу. Он обратил внимание на то, что при низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят колебания (осцилляторы) низких частот, которым соответствуют малые кванты энергии hv. Практически только такие колебания и возбуждены ври низких температурах. Низкочастотный же спектр колебаний решетки может быть рассчитан достаточно точно, и вычисления оказываются довольно простыми. Таким путем Дебай построил теорию теплоемкости твердых тел, особенно хорошо согласующуюся с опытом при низких температурах. Из теории следовало, что при действительно .

    Мы  не будем воспроизводить подробно рассуждения  Дебая. Чтобы получить результаты, к которым пришел Дебай, мы поступим иначе.

    Фононы.

    Ситуация, с которой мы встретились (кристалл, объем которого заполнен стоячими упругими волнами – квантовыми осцилляторами), аналогична той, которую мы имели в случае полости, заполненной электромагнитными квантовыми осцилляторами. Там, по идее Эйнштейна, оказалось возможным представить электромагнитное излучение в полости в виде фотонного газа. Это наводит на мысль поступить подобным же образом и в случае упругих волн.

    Упругие колебания (осцилляторы) в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция — квант энергии с частотой v. Это позволяет сопоставить упругой волне с частотой v квазичастицы — фононы, распространению которых со скоростью и соответствует упругая волна.

    Введение  понятия фонона, как выяснилось, является плодотворным приемом, значительно облегчающим рассуждения. Оно также весьма эффективно в математическом отношении, так как математические приемы вычисления различных величин, связанных с фононами, аналогичны соответствующим вычислениям, относящимся к фотонам.

    Фонон характеризуют энергией и импульсом р:

    

               (4.41)

    где — скорость фонона (скорость волны), — его частота. Импульс имеет направление, совпадающее с направлением распространения упругой волны.

    Таким образом, подобно тому, как квантование  электромагнитных волн приводит к фотонам, квантование упругих волн — к фононам.

    Выяснилось, что фонону следует приписать спин, равный нулю. Значит фононы — это бозоны и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Фононы могут рождаться и исчезать, при этом число их не сохраняется (оно зависит от температуры Т), поэтому для фононного газа химический потенциал  = 0, и функция f заполнения фазовых ячеек определяется формулой (4.5).

    Колебательная энергия решетки.

    Колебательную энергию U кристаллической решетки можно рассматривать как энергию фононного газа. Повторив рассуждения, которые приводят к формуле (4.8), определяющей число частиц в интервале энергий ( , +d ), и учитывая, что мы имеем дело с бозонами, запишем:

    

              (4.42)

    где согласно (4.5), (4.7) и (4.41)

    

          (4.43)

    В твердых телах могут распространяться три волны: продольная и поперечные с двумя взаимно ортогональными поляризациями. Их скорости несколько отличаются друг от друга, поэтому под v имеется в виду их средняя скорость. В соответствии с наличием трех волн, в (4.2) коэффициент  = 3. Другими словами, он учитывает три возможные поляризации фононов.

    Энергия фононного газа в интервале частот ( , +d ) равна произведению энергии одного фонона на их число в данном интервале частот: dU=hv dn, где dn определяется формулами (4.42) и (4.43). Остается проинтегрировать полученное выражение по всем возможным частотам:

    

                (4.44)

    где — верхняя граница возможных частот фононов. Для определения этой частоты приходится вводить довольно искусственное (как и в рассуждениях Дебая) условие. А именно, полное число квантовых состояний фононного газа, т.е. фазовых ячеек с учетом трех возможных поляризаций фононов, должно равняться числу степеней свободы 3 ( — концентрация атомов):

    

                 (4.45)

    где использовано выражение (4.43) для dZ, Таким образом,

    

                   (4.46)

    Отметим, что для упругой волны соответствующая  этой частоте длина волны оказывается  равной

    

                 (4.47)

 

    

 
 

     

 

поскольку n₀ = 1 / d ³, d — период решетки. Этот результат согласуется с тем, что волны с не имеют физического смысла (рис. 4.14). Это служит разумным оправданием условия (4.45).

 

    Учитывая (4.46), перепишем выражение (4.44) для энергии U единицы объема фононного газа в виде

    

              (4.48)

    Теплоемкость  кристалла.

    Зная  U(T), находим, что теплоемкость единицы объема кристалла

    

             (4.49)

    Введем  так называемую характеристическую температуру Дебая , определяемую условием

    

         (4.50)

    а также новую переменную х = hv/kT. Тогда выражение для теплоемкости (4.49) примет вид

    

         (4.51)

    где . Выражение (4.51) называют формулой Дебая.

    Отметим еще, что дебаевская температура  указывает для каждого твердого тела область температур (Т <  ), где становится существенным квантование энергии колебаний.

 

    Поведение теплоемкости С(Т) в предельных случаях

    1. При Т «  можно приближенно считать, что верхний предел интеграла (4.51) . Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и мы видим, что в этом случае

     

            (4.52)

    Этот  результат называют законом кубов Дебая. Именно такую зависимость С от Т и наблюдают во многих случаях, при Т «  .

    2. При Т »  , т.е. при , выражение (4.48) для U можно упростить, считая . Тогда

    

           (4.53)

    Для моля кристалла заменяем на N_A, и получим, что для молярной теплоемкости кристалла

    С = 3R

    как и должно быть в соответствии с  законом Дюлонга и Пти.

    Резюме.

    Зависимость С(Т), рассчитанная по формуле (4.51), т.е. по формуле Дебая, очень хорошо описывает экспериментальные результаты, например, для алюминия и меди. Но полученные соотношения не являются универсальными. Во-первых, они хорошо передают зависимость С(Т) только для химически простых тел с простой кристаллической решеткой. К телам с более сложной структурой формула Дебая не применима. Это связано с тем, что у таких тел спектр колебаний (распределение фононов по квантовым состояниям) оказывается очень сложным.