Задачи по "Термодинамике"

     Задача 5.2.

      Длинный металлический(латунный) вал диаметром d = 95 мм, который имел температуру t₀ = 20⁰C, был помещён в печь с температурой t_ж = 820⁰С.

      Определить  температуры на оси, на поверхности  вала и на расстоянии

r = 0,4r₀ от оси вала через τ = 25 мин после начала нагревания. Коэффициент теплоотдачи на поверхности вала α = 140 Вт/(м²*К).

Решение:

1. Определяем физические параметры латуни:

- коэффициент  теплопроводности  λ =111 Вт/(м*К);

- коэффициент  температуропроводности а = 0,34*10^-6 м²/с.

      2. Вычисляем число Фурье:

Fo = a*τ/r₀²,

где     r₀ – радиус вала;

      τ – время нагрева, с.

Fo = 0,34*10^-6*25*60/(47,5*10^-3)² = 0,23.

3. Вычисляем число Био:

Bi = α*r₀/λ = 140*(47,5*10^-3)/111 = 0,06

4. Определяем температуру на оси и на поверхности вала с помощью номограмм.

     По графику для поверхности вала определяем безразмерную температуру поверхности вала  Q_п = 0,96, по графику для центра вала определяем безразмерную температуру центра  вала  Q_ц = 0,80 [1,c.44].

     Относительная безразмерная температура поверхности.

Q_п = (t_ж – t_пк)/(t_ж – t₀),

где     t_пк – температура поверхности вала в конце нагрева, ⁰С;

     t_ж – температура  печи, ⁰С; 

     t₀ –  начальная температура поверхности вала, ⁰С.

     Отсюда  получаем температуру поверхности  в конце  нагрева:

t_пк = t_ж - Q_п*( t_ж – t₀) = 820 – 0,8* (820 – 20) = 180⁰С.

 

  

 

     Получаем  температуру в центре заготовки через 25 мин после начала нагрева:

Q_ц = (t_ж – t_цк)/(t_ж –t₀) → t_цк = t_ж - Q_ц*( t_ж – t₀) = 820 – 0,9*(820 – 20) = 100⁰С,

где     t_цк – температура центра вала в конце нагрева, ⁰С;

      t_ж – температура печи, ⁰С. 

     5.Определяем температуру на расстоянии r = 0,4r₀ = 0,4*47,5 = 19 мм от оси вала в конце нагрева.

     Используем  соотношение (так как Fo < 0,25, то для расчёта безразмерной температуры берём три члена ряда):

θ(r, τ) = 2J₁(μ₁)*J₀(μ₁*r/r₀)*exp(-μ₁²*Fo)/( μ₁[J₁²(μ₁) +J₀²(μ₁)] +

+2J₁(μ₂)*J₀(μ₂*r/r₀)*exp(-μ₂²*Fo)/( μ₂[J₁²(μ₂) +J₀²(μ₂)] +

+2J₁(μ₃)*J₀(μ₃*r/r₀)*exp(-μ₃²*Fo)/( μ₃[J₁²(μ₃) +J₀²(μ₃)].

     Значение μ₁, μ₂, μ₃ в зависимости от величины числа Био  принимаем по табл.3-1[1]:   μ₁ = 1,5325;  μ₂ = 4,5979;    μ₃ = 7,6647.

     При μ₁ = 1,5325  функции Бесселя: J₀=0,512; J₁ = 0,558.

     При μ₂ = 4,5979    функции Бесселя: J₀=- 0,321; J₁ = -0,231.

     При μ₃ = 7,6647  функции Бесселя: J₀=0,266; J₁ = 0,135.

μ₁*r/r₀ = 1,5325*0,0475/0,019 = 3,83→ J₀= - 0,38;

μ₂*r/r₀ = 4,5979*0,0475/0,019 = 12→ J₀=  0,048;

μ₃*r/r₀ = 7,6647*0,0475/0,019 = 19→ J₀= - 0,014.

θ(0,019м;25м)=2*0,558*(-0,38)*exp(-1,5325²*0,23)/(1,5325*[0,558²+0,512²]+

+2*(-0,231)*(0,048)*exp(-4,5976²*0,23)/(4,5976*[(-0,231)²+(-0,321)²]+

+2*0,135*(-0,014)*exp(-7,6647²*0,23)/(7,6647*[0,135²+0,266²] = 0,87.

      Температура на расстоянии r = 0,4r₀ = 0,4*47,5 = 19 мм от оси вала в конце нагрева:

t_r = t_ж – Q_r*( t_ж – t₀) = 820 – 0,87*(820 – 20) = 123⁰С. 

     Задача 6.

      Рукавная  линия, имеющая диаметр рукавов d = 66 мм, поперечно обдувается ветром со скоростью ω₂ = 11 м/с. Температура воздуха t₂ = -40⁰С. По рукавной линии с расходом G₁ = 5 кг/с движется вода, температура которой на входе в рукавную линию t'₁ = 6⁰С. Рассчитать максимальную длину рукавной линии из условия, что температура на выходе из рукавной линии должна была бы t''₁ ≥ 1⁰С. Толщина стенки рукавов δ = 4мм. Эквивалентный коэффициент теплопроводности материала рукава λ = 0,6 Вт/(м∙К).

      Решение:

    1.Определяем среднюю температуру воды в рукаве.

t₁ =  (t'₁+ t''₁)/2 = (6+0)/2 = 3⁰С.

     При t₁ = 3⁰С для воды:

- кинематический  коэффициент вязкости ν₁= 1,644*10^-6 м²/с;

- коэффициент  теплопроводности λ₁ = 55,7*10^-2 Вт/(м*К);

- удельная  изобарная массовая теплоемкость С_р1 = 4,206 кДж/(кг*К);

- плотность  ρ₁ = 999,8 кг/м³;

- коэффициент  объёмного расширения β = 0,4*10^-4 К^-1;

- число  Прандтля Pr₁ = 12,43.

      2. Определяем режим движения воды, вычислив число Рейнольдса.

Re₁ = 4G₁/(π*d*ρ₁*ν₁) = 4*5/(3,14*0,066*999,8*1,644*10^-6) = 5,87*10⁴.

3. Определяем число Нуссельта.

Re_ж = 5,87*10⁴ >10⁴ (развитое турбулентное течение воды) и число Нуссельта рассчитывается по уравнению:

Nu₁ = 0,021Re₁^0,8*Pr₁^0,43= 0,021*(5,87*10⁴ )^0,8*12,43^0,43= 405.

4. Коэффициент теплоотдачи от воды к внутренней поверхности рукава.

α₁ = Nu₁*λ₁/d = 405*0,557/0,066 = 3418 Вт/(м²*К).

5. Определяем физические свойства воздуха.

     При t₂ = -40⁰С  для воздуха:

- кинематический  коэффициент вязкости ν₂ = 12,79*10^-6 м²/с;

- коэффициент  теплопроводности λ₂ = 2,20*10^-2 Вт/(м*К);

- число Прандтля Pr₂ = 0,723.

      6. Определяем режим движения воздуха, вычислив число Рейнольдса.

Re₂ = w₂*d_H/ν₂ = w₂*(d+2δ)/ν₂ = 11*(0,066+2*0,004)/(12,79*10^-6) = 6,4*10⁴;

     7. Определяем число Нуссельта.

     При 10³ < Re_в < 2*10⁵ число Нуссельта рассчитывается по уравнению:

Nu₂ = 0,25Re₂^0,6*Pr₂^0,38= 0,25*(6,4*10⁴ )^0,6*0,723^0,38= 169.

     8. Определяем коэффициент теплоотдачи от поверхности рукава к воздуху.

α₂ = Nu₂*λ₂/d = 169*0,022/0,074 = 50 Вт/(м²*К).

9. Определяем коэффициент теплопередачи от воды, движущейся по рукаву, к воздуху.

k = 1/(1/α₁ + δ/λ + 1/α₂) = 1/(1/3418 + (0,004)/0,6 + 1/50) = 37 Вт/(м²*К).

10. Определяем максимальную длину рукавной линии.

L_max = G₁*C_p1*(t₁’- t₁’’) /(kπd_ср(t₁ – t₂),

где d_ср = d + δ = 0,066 + 0,004 = 0,07 м - средний диаметр рукава.

L_max = 5*4,206*10³*(6 – 1)/(3,14*37*0,07*(3-(-40)) = 300 м. 

     Задача  7.

      Для подогрева воды выхлопными газами в  цистерне пожарного автомобиля смонтирован  горизонтальный трубопровод, наружный диаметр которого d = 70мм. Определить длину трубопровода, необходимую для компенсации тепловых потерь от воды через стенку цистерны в окружающую среду, приняв, что диаметр цистерны D =1,5м, её длина L = 3 м, температура окружающего воздуха t_B = - 15⁰C, температура воды в цистерне t_ж = 11⁰C, температура стенки трубопровода t_С = 15⁰C.

      Термическим сопротивлением стенки цистерны пренебречь, а температуру цистерны принять  равной температуре воды в цистерне.

Решение:

1. Определяем теплофизические характеристики воды при t_ж = 11⁰C.

- кинематический  коэффициент вязкости ν_ж= 1,306*10^-6 м²/с;

- коэффициент  теплопроводности λ_ж = 57,4*10^-2 Вт/(м*К);

- коэффициент  объёмного расширения  β_ж = 0,7*10^-4 К^-1;

- число  Прандтля Pr_ж = 9,52;

- число Прандтля при t_С = 15⁰C Pr_с = 7,77.

      2. Определяем величину безразмерного комплекса (Gr*Pr)_ж.

(Gr*Pr)_ж = β_ж*g*( t_С - t_ж)*d³* Pr_ж / ν_ж²,

(Gr*Pr)_ж = 0,7*10^-4*9,81*(15 -11)*0,07³*9,52/(1,306*10^-6 )² = 5,3*10⁶.

           3. Определяем число  Нуссельта.

     При 10³ <(Gr*Pr)_ж.<10⁹ число Нуссельта рассчитывается по уравнению:

Nu₁ = 0,5(Gr*Pr)_ж.^0,25*(Pr_ж/ Pr_с)^0,25= 0,5*(5,3*10⁶)^0,25*(9,52/7,77)^0,25= 25.

     8. Определяем коэффициент теплоотдачи от поверхности трубопровода к воде в цистерне.

α₁ = Nu₁*λ₁/d = 25*0,574/0,070 = 205 Вт/(м²*К).

     9.Определяем теплофизические характеристики воздуха при t_В= - 15⁰C.

- кинематический  коэффициент вязкости ν_В= 12,11*10^-6 м²/с;

- коэффициент  теплопроводности λ_В = 2,32*10^-2 Вт/(м*К);

- число  Прандтля Pr_В = 0,714;

- коэффициент  объёмного расширения β_В =1/Т_В = 1/258 К^-1.

      10. Определяем величину безразмерного комплекса (Gr*Pr)_ж.

(Gr*Pr)_В = β_В*g*(t_Ж – t_В)*D³* Pr_В / ν_В²,

(Gr*Pr)_В = 9,81*(11 –(-15))*1,5³*0,174/(258*(12,11*10^-6 )²) = 3,96*10⁸.

           11. Определяем число Нуссельта.

     При 10³ <(Gr*Pr)_В <10⁹ число Нуссельта рассчитывается по уравнению:

Nu₂ = 0,5(Gr*Pr)_В.^0,25 = 0,5*(3,96*10⁸)^0,25= 125.

     12. Определяем коэффициент теплоотдачи от поверхности цистерны к окружающему воздуху.

α₂ = Nu₂*λ₂/D = 125*0,0232/1,5 = 2 Вт/(м²*К).

      13. Вычисляем длину трубопровода.