Уравнение движения пластины постоянной толщины

Уравнение движения пластины постоянной толщины

Расположим оси x, y в срединной плоскости пластины, ось z направим по нормали к этой плоскости.

Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины постоянной толщины h при малых перемещениях имеет вид:

 

Здесь — бигармонический оператор:

 

- прогиб, – цилиндрическая жесткость, – интенсивность нормальной нагрузки.

Добавляя к внешней  нагрузке интенсивность сил инерции

 

где  – плотность материала, получим уравнение движения:

                          (1)

При свободных колебаниях нагрузка и решение уравнения отыскивается в форме:

                                                    (2)

Подставив выражение (2) в однородное уравнение соответствующее (1), получим  для амплитудной функции уравнение в частных производных:

,                                      (3)

Уравнение (3) может быть представлено в виде:

,

откуда ясно, что решениями его являются, в частности, решения более простых уравнений:

;       ,                  (4)

или в развернутой записи:

;                                              (5)

.                                              (6)

Из бесчисленного множества  решений уравнения (3) должны быть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев пластины. Эти  условия такие же, как и при  статическом изгибе, а именно:

• На защемленном краю: ; ;
• На опертом краю: ; ;
• На свободном краю: ; .

Здесь и – амплитудный изгибающий момент и приведенная поперечная сила на контуре.

Если пластина отнесена к декартовой системе координат x, y, то и определяются формулами:

,

,

где – угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью x; – радиус кривизны контура.

Прямоугольная пластина постоянной толщины

Точное решение задачи об определении  собственных частот и форм колебаний  прямоугольной пластины может быть получено, если две противолежащие стороны пластины шарнирно оперты. Закрепление двух других сторон – произвольное.

Пусть шарнирно оперты края и . Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде:

 

Подставляя это выражение в  уравнения (5), (6), устанавливаем, что  функция  должна удовлетворять одному из двух уравнений:

 

или

 

Решениями этих уравнений являются выражения  Следовательно, общее выражение для принимает вид

 

Это выражение должно удовлетворять  граничным условиям при , . Если эти края пластины также шарнирно оперты, то должно быть:

 

 

Из условий при  находим , а условия при приводят к уравнениям

 

 

Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем уравнение частот

 

которое выполняется при 

Так как  находим

 

и собственные частоты пластинки, опертой по контуру,

 

                                           (7)

Наименьшая частота  соответствует т. е. колебаниям пластинки без узловых линий:

 

Форма колебания определяется выражением

                                                  (8)

Подобным же образом приводится расчет и при других условиях закрепления  границ: , .

Круглая пластина постоянной толщины

Для круглой пластины следует в  уравнениях (4) для амплитудной функции  перейти к полярным координатам . В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

 

Таким образом, уравнения (4) в полярных координатах можно записать следующим  образом:

                                     (9)

        

Решения этих уравнений, соответствующие  колебаниям пластины с  узловыми диаметрами, можно представить в форме

 

После подстановки этого выражения  приходим к уравнениям

                                      (10)

                                      (11)

Решениями уравнения (11) являются функции порядка первого и второго рода, решениями уравнения (10) – модифицированные бесселевы функции , . Таким образом, общее выражение амплитудной функции с узловыми диаметрами таково:

     (12)

Для кольцевой пластинки имеются  четыре граничных условия (по два  на каждом краю), которые образуют однородную систему относительно констант . Для сплошной пластинки в выражении (12) равны нулю коэффициенты и при функциях, стремящихся к бесконечности при . Граничные условия на внешнем контуре пластины образуют в этом случае однородную систему относительно и . Уравнение частот получается путем приравнивая нулю определителя системы.

Фигуры Хладни

Отцом экспериментальной  акустики по праву считают Эрнеста  Хладни (1756—1827). Наибольшую известность принесли Хладни опыты по исследованию колебаний пластин с помощью открытого им метода акустических, или звуковых «фигур», которые произвели огромное впечатление на современников. 

Сейчас их называют «фигурами  Хладни». Свой метод Хладни изложил  в знаменитом трактате «Открытия  в теории звука», изданном в Лейпциге (1787). Эти экспериментальные исследования являются до сих пор образцом изящного эксперимента; они поставили новую  задачу математической физике — задачу о колебании мембраны.

Фигуры Хладни, получаемые при помощи песка (или другого порошка), описывают узловые поверхности собственных колебаний плоских пластинок и мембран. Если поместить частицу песка в какой-нибудь точке, не расположенной на узле, то при достаточно сильном поперечном колебании она будет двигаться  (подпрыгивать и смещаться от первоначального положения). Движение частиц песка нерегулярно,  но,  после ряда прыжков,  частица находит путь к узлу, как к единственному месту, где она может остаться в покое.

Вообще говоря, фигуры Хладни, получаемые при помощи песка, весьма хорошо согласуются с теоретическими окружностями и диаметрами; однако в некоторых случаях наблюдаются отклонения, которые обычно приписывают неправильностям пластинки. Следует все же помнить, что колебания, возбуждаемые смычком, строго говоря, не являются свободными, а потому периоды их могут несколько изменяться. Может случиться, что в результате действия смычка будут сосуществовать два или более составляющих нормальных колебания. Все движение в целом может быть гармоническим вследствие воздействия внешней силы, хотя собственные периоды могут несколько отличаться от полученного. Такое объяснение подсказывается правильным характером фигур, получаемых в некоторых случаях.

Другую причину отклонений можно, пожалуй, усмотреть в способе закрепления пластинок. Часто в действительном эксперименте трудно соблюсти требуемые теорией условия. В таких случаях приходится удовлетворяться приблизительным соответствием; следует, однако, иметь в виду, что причина расхождения может заключаться не только в ошибочности теории, но и в ошибках эксперимента.

При обычном пользовании песком для наблюдения колебаний плоских пластинок и мембран движение песка к узлам носит неправильный характер. Если поместить зерно в какой-нибудь точке, не расположенной на узле, то при достаточно сильном поперечном колебании оно будет прыгать. В результате возникнет движение либо по направлению к узлу, либо от него; но после ряда прыжков зерно в конце кондов находит путь к узлу, как к единственному месту, где оно может остаться в покое. Зерна, которые уже достигли узла, остаются там, а другие непрерывно меняют свое положение.

Савар нашел, что очень тонкий порошок, как, например, ликоподий, ведет себя отлично от песка. Вместо того чтобы собираться в узлах, он накапливается в местах максимального движения. Фарадей приписывал это явление влиянию потоков воздуха, возникающих в результате колебаний. В вакууме всякий порошок двигается по направлению к узлам.

В некоторых случаях движение песка к узлам или к некоторым из узлов происходит более непосредственным образом в результате трения. Так, при исследовании продольных колебаний тонких узких полосок стекла, удерживаемых в горизонтальном положении, Савар наблюдал размытость узлов, зависящую, по-видимому, от наличия сопутствующих поперечных колебаний. Специфической особенностью этого явления было несоответствие линий, образованных песком на обеих сторонах пластинки при попеременном их испытании; это обстоятельство в достаточной мере показывает, что поперечное движение было связано с недостаточной однородностью. Вследствие этого образовались поперечные колебания той же самой (большой) частоты, которая имеет место для основного продольного колебания, почему колебания и сопровождались многими узлами. Конечно, узлы должны быть одинаковыми, какая бы сторона стеклянной пластинки ни находилась сверху, и можно предполагать, что все узлы обнаружились бы при помощи песка, как это и должно быть в случае, если имеют место одни только поперечные колебания. Но комбинация обоих видов движения вызывает сползание песка по направлению к чередующимся (alternate) узлам, причем движение песка в соответствующих точках обеих сторон пластинки происходит всегда в противоположных направлениях. С одной стороны пластинки, например, направленное внутрь продольное, движение сопровождается поперечным движением вверх; когда же пластинка перевернута, то же самое продольное движение, направленное внутрь, связано с поперечным движением вниз. Если бы не было поперечного движения, то действующая на частицу продольная сила, вызванная трением, должна была бы при продолжительном движении исчезнуть, но вследствие наличия поперечного движения равновесие нарушается, причем различным образом на каждой из двух сторон пластинки.