Транспорт наносов захваченными топографическими волнами

 
 

Транспортные  свойства   придонных топографических волн      на  шельфе и континентальном  склоне   

        A.A. Слепышев

    Исследование  динамических эффектов в придонном  слое море имеет актуальное значение в связи с  изученим тепло-массоперноса через придонный слой, процессов седиментации  и осадконакопления, генерации и эволюции донных рифелей и мезоформ, транспорта наносов и взвеси. Важный вклад в динамику придонного слоя вносят волновые процессы на шельфе и континентальном склоне .  Ветровое волнение является важным фактором аккумуляции или размыва наносов  непосредственно в прибрежной зоне моря [1,2]. Влияние поверхностных волн прослеживается, по-видимому, до глубин, составляющих половину длины волны [3].  На больших глубинах преобладает влияние внутренних волн и топографических волн. Нелинейные эффекты при распространении как поверхностных, так и внутренних волн проявляются в генерации  средних на временном масштабе волны  течений, которые обусловлены  действием в слабонелинейном пакете волновых напряжений  [4,5,6]  В предельном случае  слабонелинейной плоской волны указанные волновые напряжения отличны от  0 при учёте турбулентной вязкости  и диффузии [6,7]. В придонном  слое  моря на шельфе и континетальном склоне существует важный класс захваченных топографических волн, физической причиной существования которых  является взаимодействие гравитации и сил плавучести, с одной стороны,  неодородностей рельефа дна и вращения  Земли-с другой .Частота захваченных волн не превышает N ( угол наклона дна). Фаза волны распространяется, оставляя более мелкую воду справа в Северном полушарии [8]  Амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону при удалении от дна. Придонные волны, по видимому , вносят важный вклад  в транспорт наносов   на шельфе.

    Если  турбулентные тангенциальные напряжения у дна превышают критические  значения, соответствующие началу движения наносов , волна взмучивает донный осадочный  материал, осуществляя его горизонтальный перенос средними течениями , индуцированными придонными топографическими волнами .

В этой связи актуальным является определение  средних течений, индуцированных придонными волнами  за счёт нелинейных эффектов в присутствии турбулентной вязкости и диффузии над склоном произвольной ориентации.  Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений  решаются  в  слабонелинейном приближении методом      возмущений   [ 4 ]: в первом порядке малости по амплитуде волны находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение, во втором порядке малости - средние течения, индуцированные волнами после осреднения исходных уравнений по периоду волны.

    Горизонтальным  дном будем называть плоскость, перпендикулярную вектору ускорения свободного падения    и параллельную свободной невозмущённой поверхности океана. Плоскость, касательную поверхности Земли и параллельную горизонтальному дну обозначим  К. Плоскость К₁  ,  соответствующую наклонному дну, получаем из плоскости  K поворотом её на угол   вокруг линии пересечения плоскостей К  и  К₁ (оси Х). Условимся,  что положительному значению угла   соответствует поворот плоскости K против часовой стрелки (если смотреть с положительной полуоси Х). Систему уравнений гидродинамики  для  волновых  возмущений  в приближении  Буссинеска запишем в системе координат, плоскость XOY которой совпадает с плоскостью  К₁  ,ось Х совпадает с линией пересечения плоскостей   K и К₁ и составляет с западным направлением угол , ось Z   направлена от поверхности Земли перпендикулярно плоскости  К₁. Положительному значению угла соответствует поворот параллели к оси Х против часовой стрелки.

Вектор  угловой скорости вращения Земли имеет  проекции на оси Z,Y и X соответственно 

_z=  ;   _y=  (                 (1)

    и     _x=                         

где с^-1  -угловая скорость вращения Земли, .широта.

Турбулентные  напряжения в данной работе параметризуются  через  сдвиги волновых скоростей по гипотезе Сент-Гелли с введением коэффициентов горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости и диффузии [6] Введём безразмерные  переменные  ,  , ( -характерная глубина), _* (   _* - характерная частота волны), размерные величины отмечены  волнистой чертой  сверху.  Определим  безразмерные величины компонент волновых возмущений скорости ( ),  давления ,  плотности   , коэффициентов вертикальнoй и горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии следующим образом:

 = /( _*H ),   = /( _*H )  ,     = /( _*H ),     = /( ₀₁( _*H )²)            (2)

₃= ₃/    , ₃= ₃/    ,         ₁= ₁/     , ₁= ₁/ ,  = ( ₀₁H _*² )

                                       

    где   = - значение горизонтальной  турбулентной вязкости,   ₀₁-характерная средняя плотность воды. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в безразмерных переменных в приближении Буссинеска имеет вид:

2( _y - _zv)+( )=- ²(K₁ +K₁ + K₃ )

                                                                                                                                  (3a)

/ +2( _z - _x )+( )= - - + ²(K₁ / + K₁ / + K₃ / )

                                                                                                                                    (3б)

/ +2( _xv- _y )+( )= - + ²(K₁ / + K₁ w/ + K₃ / )-                                                                                                                     (3в)      

  / / 0                                                                                           (3г) 

( )+v = ²(M₁ / + M₁ / + M₃ / )    (3д)                 

где  ²= , - средняя плотность, , -волновые возмущения скорости  течения  вдоль осей  X,Z,Y  соответственно;  -волновые возмущения плотности и давления. Оператор ( ) раскрывается  по формуле: ( )=

Введём  частоту  Брента-Вяйсяля: N²=-d /dz_1, где d /dz₁  - градиент  средней плотности, z₁= . Очевидно, что вектор  градиента средней плотности коллинеарен вектору g.

        Уравнение (3д) можно переписать  в виде:

( ) - ) = ²(M₁ / +M₁ / +M₃ / )   (4)

Граничные  условия у дна:

   (0)=0

                                                                                                                       (5)

В качестве решения в линейном приближении рассмотрим  волну , у которой , введём  функцию тока . Волновые возмущения  скорости  выражаются через функцию тока:

/                                 = - /                                                                 (6)

Решение системы (3) в  линейном приближении  будем искать в виде:

                                                                               (7)

где - комплексно  сопряжённые слагаемые, А( -амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны. Из системы (3) следуют уравнения для

.

     + - d²/d ] =-                                         (8) 

    [ +l² - d²/d )][2 + )]= + - d²/d ]d/d {[ + - d²/d ] }+N²

                                                                                                                              (9)                 

Граничные условия  у  дна  функций   и имеют вид:

=0 ,                              =0                                                                 (10)                                                                                               

    В  [12], следуя асимптотическому методу Люстерника-Вишика [13,14] ,функ-

    ции   (z) и   (z) и частота волны   получены в виде:

     (z)= ₁₀(z)+

     (z)= +                                                                      (11)               

    

    где ₁₀(z)  и ₁₀(z) - "невязкие" решения , т .е.  решения при ,  и - "погранслойные"  решения, быстро убывающие (по сравнению с ₁₀(z)) при удалении  от дна.  Приведём  выражения для ₁₀(z) и   ₁₀(z)           которые потребуются в дальнейшем:

     ₁₀(z)= exp( z)               ,        ₁₁( )=-exp( )

     = sin ^. ₁₀(z)/    ,      

      ₁₁(z)=exp( ) sin /                                                                                         (12)

где    -дисперсионное соотношение при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии, поправка к чаcтоте, обусловленная турбулентной вязкостью и диффузией  [12],

=[2 + ) +i0.5 sin2 ]/[2i ]

      =z/ ,                                                                   (13а)

                                                          (13б)

    Амплитудная функция      А    является медленно меняющейся  функцией  на  масштабах  волны.  Умножим  обе части уравнения (3а) на , уравнения (3б) на и сложим эти уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении получим уравнение для огибающей А    : 

                                    (14)          

      где     +       ,

       + -                                                        (15) 

    компонеты групповой скорости вдоль осей X  и Y соответственно.                                                       

    здесь  ,      

    В стационарном случае уравнение (14) преобразуется  к виду:

       ,                                                                                (16)

    где -координата вдоль луча, -групповая скорость.

    Пространственные  производные функции  следующим образом выражаются через градиент

                                                                         (17)

    

Осредним исходные уравнения  движения  (3) по периоду волны ,  получим с точностью  до членов , квадратичных   по  амплитуде волны  уравнения для средних полей , индуцированных волной  в слабонелинейном приближении  (черта сверху означает осреднение по периоду волны):