Связь законов сохранения с пространством и временем

    Момент импульса (где r - радиус-вектор, определяющий положение частицы, а p=mV – импульс частицы):                             

                                                                                            (2) 

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (2) по времени:

                                                                                      
 

Согласно второму закону Ньютона  mV=F - результирующей сил, действующих на частицу; по определению r=V. Поэтому можно написать, что: 
 

 

Второе слагаемое  является векторным произведением  коллинеарных векторов и поэтому  равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы F относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса L. Следовательно, мы приходим к соотношению (где М - суммарный момент сил, действующих на частицу):

         

Силы  взаимодействия между частицами  действуют в противоположные  стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю.

Дифференцирование по времени дает:

                                                                  = ∑              +   ∑                           
 

Так как суммарный момент внутренних сил равен нулю. Получаем окончательно, что:

                                                                                               

Так как  система замкнутая, то ∑      = 0, а следовательно вектор L не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса.

     В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой  системы частиц без изменения  их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен. 

     §4. Закон сохранения электрического заряда. 

     Закон сохранения электрического заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется.

     Известные в настоящее время элементарные частицы можно объединить в группы, разделение на которые  определяется не только различием в массах, но и рядом других существенных свойств (например, спином): фотон, лептоны (в группу лептонов входят два вида нейтрино и антинейтрино, электрон, позитрон), мезоны, барионы.

     В 1952 г. группа физиков под руководством Э. Ферми обнаружила  первую частицу  из открытой большой группы частиц с очень малым  временем жизни, так называемых резонансов. Эти образования возникают при сильном взаимодействии элементарных частиц. По мнению известного американского теоретика М. Гелл-Мана, общее число резонансов должно достигать нескольких  тысяч. Вновь возник вопрос об "элементарности" частиц.

     Было  выдвинуто несколько гипотез, смысл  которых состоит в том, что  все многообразие частиц сводится к  нескольким фундаментальным частицам. Наибольшее распространение получила гипотеза Гелл-Манна и Цвейга.

     Согласно  этой гипотезе все барионы и мезоны рассматриваются как частицы, состоящие  из комбинации трех фундаментальных  частиц (и их античастиц), которые  Гелл-Манн назвал кварками.

     На  основе гипотезы кварков  уже удалось  разрешить некоторые трудности  теории элементарных частиц. Но попытки экспериментального обнаружения кварков пока еще не увенчались успехом.

     В связи с попытками  объяснить, почему одни превращения элементарных частиц возможны: а другие нет, было также обобщено и понятие электрического  заряда. Вигнер ввел понятие о барионном числе (это приблизительно сохраняемое квантовое число системы), равном +1 для нуклонов, -1 для антинуклонов и 0 для p-мезонов. Физическая природа сохранения барионного числа в настоящее время не выяснена, поскольку неизвестны те свойства симметрии, которые обусловливают действие  этого закона.

     Для легких частиц (лептонов) введено аналогичное  понятие лептонного числа - разность числа лептонов и антилептонов в данной системе. Во всех наблюдавшихся процессах лептонное число в замкнутой системе сохраняется, поэтому был сформулирован закон сохранения лептонного заряда, являющийся одним из экспериментальных оснований Стандартной Модели физики элементарных частиц. Однако причины, по которым лептонное число сохраняется, пока неизвестны. В отличие от электрического заряда, лептонный заряд, насколько это известно, не является источником какого-либо дальнодействующего калибровочного поля (поэтому более правильный термин — лептонное число). Лептонам присваивается лептонное число (по соглашению) L = +1, для антилептонов L = −1.

     В заключение надо сказать, что принципы симметрии в микромире являются более сложными и глубокими: чем  в макромире. Однако, тот факт, что  в микромире выполняются все  классические законы сохранения, по-видимому, указывает на то, что свойства симметрии пространства-времени в масштабах микромира принципиально  не должны отличаться от их свойств в макромире.

 

     

     Глава II. Свойства пространства и времени. 

     В механике движением называют изменение  положения тела в пространстве с течением времени. Так что же такое пространство, а что такое время? И какими свойствами они обладают?

     Прежде всего пространство и время объективны и реальны, т. е. существуют независимо от сознания людей и познания ими этой объективной реальности. Человек все более и более углубляет свои знания о ней.

     Важным  свойством пространства является его  трехмерность. Положение любого предмета может быть точно определено только с помощью трех независимых величин  — координат. В науке используется понятие многомерного пространства (n-мерного). Это понятие математической абстракции играет важную роль. К реальному пространству оно не имеет отношения. Каждая координата, например 6-мерного пространства может указывать на какое-то любое свойство рассматриваемой физической реальности: температуру, плотность, скорость, массу и т. д. В последнее время была выдвинута гипотеза о реальных 11 измерениях в области микромира в первые моменты рождения нашей Вселенной: 10 — пространственных и одно — временное. В отличие от пространства, в каждую точку которого можно снова и снова возвращаться (и в этом отношении оно является как бы обратимым), время — необратимо и одномерно. Оно течет из прошлого через настоящее к будущему. Нельзя возвратиться назад в какую-либо точку времени, но нельзя и перескочить через какой-либо временной промежуток в будущее.

     Пространство  обладает свойством однородности и  изотропности, а время — однородности. Однородность пространства заключается  в равноправии всех его точек, а изотропность — в равноправии  всех направлений. Во времени все точки равноправны, не существует преимущественной точки отсчета, любую можно принимать за начальную. Указанные свойства пространства и времени связаны с главными законами физики — законами сохранения. Если свойства системы не меняются от преобразования переменных, то ей соответствует определенный закон сохранения. Это — одно из существенных выражений симметрии в мире. Симметрии относительно сдвига времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии; симметрии относительно пространственного сдвига (однородности пространства) — закон сохранения импульса; симметрии по отношению поворота координатных осей (изотропности пространства) — закон сохранения момента импульса, или углового момента. Из этих свойств вытекает и независимость пространственно-временного интервала, его инвариантность и абсолютность по отношению ко всем системам отсчета.

     Однако  появившаяся в начале XX в. теория относительности А. Эйнштейна подвергла  радикальному пересмотру традиционные представления о пространстве и времени. Специальная теория относительности (СТО, 1905 г.) объединила их в единое четырехмерное пространственно-временное многообразие (пространство-время). Введя запрет на превышение скорости света, СТО привела к парадоксальным выводам: ввиду принципиального ограничения скорости взаимодействия тел не может существовать единого потока времени для всей Вселенной, так как события, одновременные в одной системе отсчета, будут разновременными в другой. Иначе говоря, не существует самостоятельных, отделенных друг от друга пространства и времени, поскольку каждой системе отсчета (а все они равноправны, выделенных нет) присуще свое разделение событий на прошлые, настоящие и будущие. (Правда, заметить это можно только в

очень больших  масштабах).

          Общая теория относительности (ОТО, 1916 г.) привела к не менее фундаментальному выводу относительно пространства-времени. Его общий смысл таков: пространство и время существуют не «сами по себе», а в тесной зависимости от свойств материи. Высокая плотность вещества искривляет пространство (т.е. заставляет световой луч двигаться не по прямой, а по искривленной траектории, которая тем не менее будет кратчайшей) и замедляет течение времени. 
 
 
 
 

     Итак, подведу небольшой итог: 

·  В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т. е. равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t₁ на момент времени t₂, без изменения значений координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты и скорости частиц имеют в любой момент времени t₂ + t  такие же значения, какие имели до замены, в момент времени t₁ + t.

·  В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.

     ·  В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Глава III. Связь законов сохранения с пространством и временем. 

§1. Теорема Э. Нётер. 

     Теорема Эмми Нётер¹ утверждает, что каждой симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса — однородности пространства, закон сохранения момента импульса — изотропии пространства, закон сохранения электрического заряда — калибровочной симметрии и т. д.

     Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом² действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана³ по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

     Теорема установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер  в 1918 году.

     Формулировка  теоремы в классической механике звучит следующим образом:

Каждой  однопараметрической  группе диффеоморфизмов⁴ g^s(q_i), сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный:

       
 

      В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид: 

и функция Лагранжа                       инвариантна относительно этих преобразований, то есть 
 

Тогда у системы существует первый интеграл, равный: 
 

     Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра τ, причем в процессе движения t = τ. Тогда из преобразований: