Расчет ЭМП проводника с учётом влияния поверхностного эффекта

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО КУЛЬТУРЕ И 

КИНЕМАТОГРАФИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ 

Кафедра акустики 
 

Курсовая  работа

« Расчёт ЭМП проводника с учётом влияния

поверхностного  эффекта» 
 
 
 
 

                                                                  Выполнил: студент ФАВТ, 2 курса,

2-У группы

                                                                 Телятьева Надежда Александровна 

                          Проверил:

                  
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2011 г. 

ЗАДАНИЕ 

      Переменный  ток протекает по длинной плоской  металлической шине. Высота шины - h, ширина – 2a, причем 2a † h. Удельная проводимость и магнитная проницаемость материала шины соответственно равны g и m.  

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1. распределение нормированной амплитуды плотности тока J*_mz по сечению шины (J*_mz= J_mz/ J_o где J_o - амплитуда плотности тока на поверхности шины). Построить графики J*_mz (x) для заданных частот;
2. распределение нормированной амплитуды напряженности магнитного поля H*_my по сечению шины (H*_my= H_my /H_o где H_o - амплитуда напряженности магнитного поля на поверхности шины. Построить графики H*_my(x) для заданных частот;
3. активное и реактивное сопротивление шины на единицу ее длины для заданных частот. Построить графики зависимости активного и реактивного сопротивлений шины от частоты.

Таблица 1

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………..………………………………...4

1.1 О поверхностном  эффекте…………………………...………………………...….4

1.2 Метод решения  задачи…………………………………………………….…..…..6

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………...7

2.1 Расчёт глубины  проникновения………………………………………………..…7

2.2 Решение задачи………………………………………………………………….…8 2.2.1 Уравнения Максвелла в комплексной  форме. Дифференциальные уравнения в частных производных. Нахождение выражения для определения распределения нормированной амплитуды напряженности магнитного поля H*_my по сечению шины……………………………………………………………………………….…...9

2.2.2 Нахождение  выражения для определения распределения нормированной

амплитуды плотности  тока J*_mz по сечению шины…………………………………12

2.2.3 Определение  активного и реактивного сопротивления  шины………...13

2.2.4 Расчёт активного  и реактивного сопротивления  шины для заданных частот…………………………………………………………………………….13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………..16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………………………16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

 

1.1 О поверхностном  эффекте

      Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное  затуханием электромагнитной волны при её распространении в проводящую среду, называют поверхностным эффектом.

      Если  вдоль листа направлен магнитный  поток, то поверхностный эффект часто  называют магнитным, если вдоль плоской  шины направлен переменный ток, то поверхностный эффект часто называют электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же, а слова  магнитный или электрический свидетельствуют лишь о том, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.

      Магнитный поверхностный эффект может наблюдаться в сердечниках трансформаторов.  

Виды поверхностного эффекта:

   1. D † r, где r - размер проводника вдоль распространения волны электромагнитного поля (поперечный радиус проводника).

      Такой эффект называется резко выраженным (рис. 1). При резко выраженном поверхностном эффекте, почти весь ток протекает при

поверхностном слое.

Рис. 1. Резко  выраженный поверхностный эффект 

   2. D ‡ r Амплитуда тока по мере распространения практически не убывает.

В этом случае поверхностный  эффект можно не учитывать (рис. 2). 

Рис. 2. Не учитывающийся поверхностный эффект 
 

   3. D ~ r  Не резко выраженный поверхностный эффект (рис. 2). 

Рис. 3. Не резко выраженный поверхностный  эффект 

   4. Особый  вид поверхностного эффекта – эффект близости. 

Рис. 4 “Притяжение  токов” 
 

Рис. 5 “Отталкивание  токов” 
 
 
 
 
 
 
 

1.2 Метод решения  задачи 

      Данная  задача решается в 6 этапов.

      На  первом этапе решения, осуществляется обзор литературы по темам:

• Переменное электромагнитное поле в однородной и изотропной проводящей среде.
• Электрический поверхностный эффект в плоской шине.

      На  втором этапе решения производится расчёт глубин проникновения для заданных частот, с целью определения вида поверхностного эффекта.

      На  третьем этапе решения с помощью  уравнений Максвелла в комплексной  форме, составляются дифференциальные уравнения в частных производных.

      На  четвёртом этапе решения задачи происходит основное теоретическое  решение, в частности нахождение выражений для определения распределение нормированных амплитуды напряженности магнитного поля H*_my и амплитуды плотности тока J*_mz по сечению шины, а также определение активного и реактивного сопротивления шины на единицу её длины для заданных частот.

      На  пятом этапе решения задачи осуществляется расчёт и построение графиков по найденным выражениям.

        На завершающем шестом этап  подводятся итоги о проделанной  работе.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

2.1 Расчёт глубины  проникновения

 

      Под глубиной проникновения Δ понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси x), на котором амплитуда падающей волны E (или H) уменьшается в e = 2,71 раз. Глубину проникновения определяют с помощью выражения: . Отсюда следует, что или ,

где

      Глубина проникновения зависит от свойств  проводящей среды (g и m) и частоты ω.

В соответствии с этими формулами рассчитаем глубины проникновения для заданных частот: 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 

Итоги расчёта глубины проникновения:

1. В первом случае полученная глубина проникновения Δ превышает значение a более чем в 3 раза, поэтому поверхностный эффект в этом случае можно не учитывать.
2. В случаях 2-5 полученные глубины проникновения Δ соизмеримы со значением a, т.е. не больше и не меньше чем в 3 раза, поэтому поверхностный эффект в этих случаях является не резко выраженным.
3. В случае 3 глубина проникновения Δ меньше значения a примерно в 3 раза, соответственно поверхностный эффект в этом случае является резко выраженным

 
 
 
 
 
 

2.2 Решение задачи 

 

Рис. 6. Металлическая  шина. 
 
 
 
 
 

2.2.1 Уравнения  Максвелла в комплексной форме.  Дифференциальные уравнения в  частных производных. Нахождение  выражения для определения распределения нормированной амплитуды напряженности магнитного поля H*_my по сечению шины.  

      Запишем первое и второе уравнения Максвелла  в комплексной форме для синусоидального  изменяющихся во времени E и H:

 
 

      В проводящей среде с проводимостью g и магнитной проницаемостью m, даже при очень высоких частотах произведение wε много меньше проводимости g. Поэтому с большой степенью точности слагаемым в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.

 
Т.О. уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

(1)

 
(2)

а также   

Эти два уравнения (1) и (2) представляют собой уравнения  с двумя неизвестными .

Решим их совместно  взяв ротор от уравнения (1):

 

Учтём, что  , и поэтому . Вместо в соответствии с уравнением (2), подставим . Получим: 
(3)

 
Это уравнение является дифференциальным относительно .

      В общем случае под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы  которой расположены в плоскости zoy, перпендикулярной направлению распространения волны (ось x) и изменяющиеся только в функции координаты x и времени t.

      В силу определения плоской волны, можно записать:

   

В плоской волне  являются функциями только одной координаты – x.

      Повернём  координатные оси таким образом, чтобы ось y совпала с напряжённостью магнитного поля  . При этом , где – единичный орт оси y декартовой системы координат. Подставим в уравнение (3) и раскроем D: