Министерство  образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический  институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы  Лагерра в квантовой  механике 
 
 

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой  физики 

Иркутск

2010 

 

Содержание

Введение                                                                                                            3

Глава I . Ортогональные полиномы.                                                         4

1. Понятие ортогональных полиномов                                            4
2. Классические ортогональные полиномы                                      5
3. Общие свойства ортогональных полиномов                                7

Глава II. Полиномы Лагерра                                                                      8

Глава III. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике  10

       3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном.                                                                                           10

        3.2. Переход в осцилляторе                                                                     12

Заключение                                                                                                     13          

Используемая  литература                                                                           14

Приложение                                                                                                    15 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в  квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма  конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Ax^ky^l...w^m где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а₀х_n + а₁х_n-1 + ... + а_n-1х + а_n.

К классическим ортогональным полиномам относятся  полиномы Якоби , Эрмита , Лагерра

Они часто  встречаются в теоретической  и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют  уравнениям вида

где - полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики. 
 
 
 
 

Глава I. Ортогональные полиномы

1.1.Понятие  ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b)

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином р_n(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_n(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_n - нормировочная постоянная , - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить  свойства Ортогональных полиномов. 
 
 

1.2.Классические ортогональные полиномы.

     Полиномы  Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа y_n(z) являются решениями уравнения . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где B_n – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

      Решая эти  уравнения, получим в зависимости  от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):  
 
 

где –  некоторые постоянные.  

В зависимости  от вида функции  получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть                                

Тогда

Соответствующие полиномы y_n(z) при называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть                  Тогда

 Полиномы  y_n(z) при называются полиномами

Эрмита  и  обозначаются       

 
 

3.Пусть         Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами Лагерра  и обозначаются : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

     Классические  ортогональные^* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени q_n(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов p_n(x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома 

                 

где - некоторые постоянные 
 
 
 
 
 
 
 

Глава II. Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

Многочлены  Лагерра применяются в квантовой  механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра  можно определить рекуррентной формулой:

предопределив первые два полинома как:

Обобщенные  полиномы Лагерра.

где:

• ^**— главное (радиальное) квантовое число;
• ^***— орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые  полиномы Лагерра  являются решениями уравнения:

так что  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГлаваIII.   Применение полиномов Лагерра в квантовой

механике.

 Многочлены  Лагерра нашли свое применение  в квантовой механике:

3.1.В  радиальной части  решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции).

Разложение  волновой функции на множители, каждый из которых зависит либо от радиальной, либо от угловых координат, позволяет разбить общее условие нормировки 

 

на два: по радиальной координате 

и по угловым: 

^.  

Для справочных целей выпишем полные выражения  для нормированных волновых функций. Сумма может быть выражена через так называемую гипергеометрическую функцию. Радиальная часть волновой функции с учётом условия нормировки равна  

  
 

Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера):  

  

которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное  число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через  обобщённые полиномы Лагерра  :   

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.2.Переход  в осцилляторе.

Расчет переходов  в осцилляторе под действием  внешней силы.

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ( ) на другой ( ). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой:

,

где функция  определяется как:

,

а — полиномы Лагерра. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

В данной работе были рассмотрены полиномы  - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались  полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике  - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения  переходов в осцилляторе под  действием внешней силы.